Более общо, если имеется п независимых в совокупности случайных величин Х\,Х2,.. - ,Хп, имеющих математические ожидания, то

M[XtX2 Хп] = M[Xt]M[X2] • -ЩХп].(6.27)

Если случайная величина X может принимать только натуральные значения (0,1, 2,...), то имеется красивая формула для её математического ожидания:

оо

М[Х] = JiP{X = i}

8 = 0

оо

= 2г(Р{Хг}-Р{Хг+1})

i=0

оо

= Р{Х>г}.(6.28)

8 = 1

В самом деле, каждый член Р{Х г} присутствует в сумме г раз со знаком плюс и г - 1 раз со знаком минус (исключение составляет член Р{Х 0}, вовсе отсутствующий в сумме).

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия (variance) случайной величины X с математическим ожиданием М[Х] определяется как

(6.29)

Переходы М[М2[Х]] = М2[Х] и М[ХМ[Х]] = М2[Х] законны, так как М[Х] - это число (а не случайная величина) и можно сослаться на (6.25), полагая а = М[Х]. Формулу (6.29) можно переписать так:

М[Х2] = D[X] + M2[X](6.30)

При увеличении случайной величины в а раз её дисперсия растёт в а2 раз:

D[aX] = a2D[X].

Если X и Y независимы, то

D[X + Y] = D[X] + D[Y].

Более общо, дисперсия суммы п попарно независимых случайных величин Х\,..., Хп равна сумме их дисперсий:

d

Ь=1

£d[x,-].

(6.31)

Стандартным отклонением (standard deviation) случайной величины X называется квадратный корень из её дисперсии. Часто стандартное отклонение случайной величины обозначается ах или просто и, если из контекста ясно, о какой случайной величине идет речь. В этой записи дисперсия обозначается а2.

Упражнения

6.3-1 Подбрасываются две обычные шестигранные кости. Чему равно математическое ожидание суммы выпавших чисел? Чему равно математическое ожидание максимума из двух выпавших чисел?

6.3-2 В массиве А[1. .п] имеется п расположенных в случайном порядке различных чисел; все возможные расположения чисел равновероятны. Чему равно математическое ожидание номера места, на котором находится максимальный элемент? Номера места, на котором находится минимальный элемент?

6.3-3 В коробочке лежат три игральные кости. Игрок ставит доллар на одно из чисел от 1 до 6. Коробочка встряхивается и открывается. Если названное игроком число не выпало вовсе, то он проигрывает свой доллар. В противном случае он сохраняет его и получает дополнительно столько долларов, сколько выпало костей с названным им числом. Сколько в среднем выигрывает игрок в одной партии?

6.3-4* Пусть X и У - независимые случайные величины. Покажите, что f(X) и g(Y) также независимы для любых функций / и д.

6.3-5* Пусть X - неотрицательная случайная величина с математическим ожиданием М[Х]. Докажите неравенство Маркова (Markovs inequality)

Р{Х t} M[X]/t(6.32)

для всех t > 0. [Это неравенство называют также неравенством Чебышёва.]

6.3-6* Пусть S - вероятностное пространство, на котором определены случайные величины X и X, причём X(s) X(s) для всех

s G S. Докажите, что для любого действительного числа t,

Р{Х t} Р{Х t}.

6.3-7 Что больше: математическое ожидание квадрата случайной величины или квадрат её математического ожидания?

6.3-8 Покажите, что для случайной величины, принимающей только значения 0 и 1, выполнено равенство -D[X] = М[Х]М[1 - X].

6.3-9 Выведите из определения дисперсии (6.29), что d[aX] = a2D[X].

6.4. Геометрическое и биномиальное распределения

Бросание симметричной монеты - частный случай испытаний по схеме Бернулли (Bernouilli trials) в которой рассматривается п независимых в совокупности испытаний, каждое из которых имеет два возможных исхода: успех (success), происходящий с вероятностью р, и неудачу (failure), имеющую вероятность 1 - р. Два важных распределения вероятностей - геометрическое и биномиальное - связаны со схемой Бернулли.

Геометрическое распределение

Рассмотрим серию испытаний Бернулли, в каждом из которых успех имеет вероятность р (а неудача имеет вероятность q = 1-р). Какое испытание будет первым успешным? Пусть случайная величина X - его номер; эта величина принимает значения 1,2,..., причём

Р{Х = k} = qk-xp(6.33)

(первый успех будет иметь номер к, если к - 1 испытаний до него были неудачными, а к-е оказалось удачным). Распределение вероятностей, заданное формулой (6.33), называется геометрическим распределением (geometric distribution). Оно показано на рис. 6.1.

Предполагая, что р < 1, найдём математическое ожидание геометрического распределения, используя формулу (3.6):

оооо

М[Х] = кчк~1Р= --2 = 1/р. (6.34)

k=i4 к=о4 ч>

Другими словами, нужно в среднем 1/р раз провести испытание, чтобы добиться успеха, что естественно ожидать, поскольку вероятность успеха равна р. Дисперсию можно вычислить аналогичным