выпадения двух решек. Три оставшихся исхода будут равновероятны, поэтому вероятность каждого (в том числе и интересующего нас) есть 1/3.

Эта идея формализуется в определении условной вероятности (conditional probability) события А при условии события В; она обозначается Р{А В} и определяется формулой

РШв) = ЕИ™>,(в.19)

(мы предполагаем, что Р{В} ф 0). Интуитивный смысл понятен: событие В происходит в некоторой доле экспериментов; мы смотрим, какую часть среди них составляют те, когда произошло ещё и событие А.

Два события называются независимыми (independent), если Р{АГ)В} = Р{А}Р{В}, В случае Р{В} ф 0 это условие можно переписать как

Р{А\В} = Р{А}.

В нашем примере с двукратным бросанием монеты появления орла при первом и втором бросании будут независимыми, так как каждое событие имеет вероятность 1/2, а их пересечение (два орла) - 1/4. В том же примере события «первая монета выпала орлом» и «выпал один орёл и одна решка» также независимы, хотя это сразу и не так ясно. Но в этом легко убедиться по определению: вероятность каждого события равна 1/2, вероятность их пересечения равна 1/4. А вот события «первая монета выпала орлом» и «выпала хоть одна решка» не будут независимыми.

События «первая монета выпала орлом» и «вторая монета выпала орлом» перестанут быть независимыми, если изменить распределение вероятностей и считать, что монеты склеены и одновременно выпадают либо орлом, либо решкой (т.е. что комбинации оо и РР имеют вероятность 1/2).

События Ai,A2,...,An называются попарно независимыми (pairwise independent), если

P{AlnAJ} = P{Al}P{AJ}

для всех 1 i < j п.

События А\, А2, , Ап называются независимыми в совокупности (mutually independent), если для любого набора Ai1, А{2,..., А{к этих событий (здесь 2/ггаи1г1<г2<---<га) имеет место равенство

Р{АЧ Г\Аг2 П...Г\Агк} = Р{Ач}Р{А12}---Р{А1к).

Это требование - более сильное: например, в нашем примере события «первая монета выпала орлом», «вторая монета выпала орлом» и «две монеты выпали одинаково» попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Формула Байеса

Из определения условной вероятности (6.19) следует, что для двух событий А н В, вероятности которых положительны, выполнено равенство

Р{АГ\В} = Р{В}Р{А\В} = Р{А}Р{В\А}.

Выражая отсюда Р{А В}, получаем формулу

(6.20)

г, г., , Р{А}Р{В\А}

Р{А\В}= 1 1 \(6.21)

известную как формула Байеса (Bayess theorem). Эту формулу можно переписать так: поскольку В = (В П A) U (В П А), а В П А и В Г) А - несовместные события, то

Р{В} = Р{В Г)А} + Р{В П А}

= Р{А}Р{В\А} + Р{А}Р{В\А}.

Подставляя данное выражение в формулу (6.21), получаем другой вариант формулы Байеса:

Р{ 4В} -Р{Л}Г{В\Л}

Р{А}Р{В\А} + Р{А}Р{В\А}

Формула Байеса помогает вычислять условные вероятности. Пусть у нас есть две монеты: одна симметричная, а другая всегда выпадает орлом. Мы случайным образом выбираем одну из двух монет, после чего её дважды подбрасываем. Предположим, что оба раза выпали орлы. Какова вероятность того, что была выбрана несимметричная монета?

Решим эту задачу при помощи формулы Байеса. Пусть событие А - выбор несимметричной монеты, событие В - выпадение выбранной монеты орлами дважды. Нам нужно вычислить Р{А В}. Имеем: Р{А} = 1/2, Р{В\А} = 1, Р{А} = 1/2 и Р{В\А} = 1/4, следовательно,

Р{В\А] = , , ч\\ , , , = 4/5.

1 } (1/2)-1 +(1/2)-(1/4) 1

Упражнения

6.2-1 Докажите неравенство Буля (Booles inequality):

Р{АХ UA2U...}< Р{АХ} + Р{А2} + ...(6.22)

для любой конечной или счётной последовательности событий АЪА2,....

6.2-2 Профессор бросает симметричную монету, а студент бросает бросает две симметричные монеты. Какова вероятность того, что у профессора выпадет больше орлов, чем у студента? (Все три бросания независимы.)

6.2-3 Колоду карт (с числами от 1 до 10) тасуют и вынимают три карты. Какова вероятность того, что числа на этих картах будут идти в возрастающем порядке?

6.2-4* Имеется несимметричная монета, для которой вероятность выпадения орла есть неизвестное нам число р (0 < р < 1). Покажите, как с её помощью можно имитировать симметричную монету, сделав несколько бросаний. (Указание: бросьте монету дважды; если результаты разные, дайте ответ; если одинаковые, повторяйте испытание.)

6.2-5* Как имитировать бросание монеты с вероятностью появления орла а/Ь, имея симметричную монету, которую можно подбрасывать несколько раз? (Числа а и Ь целые, 0 < а < Ь, математическое ожидание числа бросаний должно быть ограничено сверху полиномом от lg Ь.)

6.2-6 Докажите, что

Р{А\В} + Р{А\В} = 1.

6.2-7 Докажите, что для любого набора событий А\, А2, , Ап,

Р{А1Г\А2Г\...Г\Ап} = = Р{АХ} Р{А2А!} • Р{А3\АХ П А2} Р{Ап\А1Г\А2 П • ПА„ 1}.

6.2-8* Придумайте множество из п попарно независимых событий, для которого любое подмножество из к > 2 событий не будет независимым в совокупности.

6.2-9* События Ап В являются условно независимыми (conditionally independent) при условии события С, если

Р{А П В\С} = Р{А\С} Р{В\С}.