Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[32]

Биномиальные коэффициенты

Для числа сочетаний из га по к используется обозначение Ск или (в английской литературе) ():

Эта формула симметрична относительно замены к на га - к :

Скп = Спп~к.(6.4)

Числа Ск известны также как биномиальные коэффициенты (binomial coefficients), появляющиеся в биноме Ньютона (binomial expansion):

п

(x + y)n = J2Cknxkyn-k(6.5)

к=0

(если раскрыть скобки в (ж + у)п, то количество членов, содержащих к множителей ж и га - к множителей у, равно количеству способов выбрать к мест из га, т.е. Ск). При ж = у = 1 бином Ньютона даёт

к=0

Сп-(6-6)

(Комбинаторный смысл: 2п двоичных строк длины га сгруппированы по числу единиц: имеется как раз Ск строк с к единицами.)

Существует много тождеств с биномиальными коэффициентами (некоторые из них предлагаются в качестве упражнений в конце этого раздела).

Оценки биномиальных коэффициентов

В некоторых случаях нам понадобится оценить величину биномиальных коэффициентов. Для 1 к га имеем оценку снизу

, га(га- 1) ..-(га - к+ 1) к{к-1)--Л га\ /га - 1\ /га - к А- 1

к) \к- 1) \ 1

raN Ь

> (?) •(6-7)


Используя неравенство kl (~)к, являющееся следствием формулы Стирлинга (2.12), получаем оценку сверху

, га(га - 1) ---(га- к +1) к{к-1)--Л

/еп\к

< (т) •(6-9)

Для всех 0 к га можно по индукции (см. упр. 6.1-12) доказать оценку

где ради удобства записи полагаем 0° = 1. Для к = An, где 0 А 1, эта оценка может быть записана как

Схпа <

(Ап)А«((1-А)п)(!-А>

1-А\

где величина

)(6-11)

(6.12)

Я(А) = -A lg А - (1 - A) lg(l - А)(6.13)

называется (двоичной) шенноновской энтропией, по-английски (binary) entropy function. В этой записи мы полагаем 0 lg 0 = 0, так что Я(0) = Я(1) = 0.

Упражнения

6.1-1 Сколько существует /г-подстрок строки длины га? (Подстроки, начинающиеся с различных позиций строки, считаются разными.) каково общее число подстрок строки длины га?

6.1-2 Булева функция (boolean function) с га входами и т выходами - это функция, определенная на множестве {true, false}™ со значениями в множестве {true, false}"1. Сколько существует различных булевых функций с га входами и одним выходом? А булевых функций с га входами и т выходами?

6.1-3 Сколькими способами га (различных) профессоров могут расположиться за круглым столом? Способы, отличающиеся поворотом, считаются одинаковыми.


6.1-4 Сколькими способами можно выбрать три различных числа из множества {1, 2,..., 100} так, чтобы их сумма была четной? (Порядок выбора существен.)

6.1-5 Докажите тождество

Ckn = jCtX(6.14)

для 0 < к га.

6.1-6 Докажите тождество

Сп~ п-к-1

для 0 к < га.

6.1-7 Выбирая к предметов из га, можно отметить один из предметов и следить, выбран он или нет. Используя это обстоятельство, докажите, что

s~ik s~ik I s~ik - 1

bn - un-l "I" un-l •

6.1-8 Используя результат упражнения 6.1-7, составьте таблицу для Ск при га = 0,1,2,..., 6 и при к от 0 до га в виде равнобедренного треугольника (Сд сверху, С° и С\ в следующей строке, и так далее). Этот треугольник называют треугольником Паскаля (Pascals triangle).

6.1-9 Докажите равенство

п

8 = 1

6.1-10 Покажите, что для фиксированного га 0 величина Ск достигает наибольшего (среди всех к от 0 до га) значения при к = ra/2j и при к = [га/2] (так что для чётного га максимум один, а для нечётного - два стоящих рядом).

6.1-11* Покажите, что для любых га 0, J 0, к 0, j + /г га выполнено неравенство

f<j + k / f<jf<k

с помощью комбинаторных рассуждений, а также с использованием формулы (6.3). В каких случаях это неравенство обращается в равенство?

6.1-12* Докажите по индукции неравенство (6.10) для к п/2; затем, используя (6.4), докажите его для всех к га.



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53] [стр.54] [стр.55] [стр.56] [стр.57] [стр.58] [стр.59] [стр.60] [стр.61] [стр.62] [стр.63] [стр.64] [стр.65] [стр.66] [стр.67] [стр.68] [стр.69] [стр.70] [стр.71] [стр.72] [стр.73] [стр.74] [стр.75] [стр.76] [стр.77] [стр.78] [стр.79] [стр.80] [стр.81] [стр.82] [стр.83] [стр.84] [стр.85] [стр.86] [стр.87] [стр.88] [стр.89] [стр.90] [стр.91] [стр.92] [стр.93] [стр.94] [стр.95] [стр.96] [стр.97] [стр.98] [стр.99] [стр.100] [стр.101] [стр.102] [стр.103] [стр.104] [стр.105] [стр.106] [стр.107] [стр.108] [стр.109] [стр.110] [стр.111] [стр.112] [стр.113] [стр.114] [стр.115] [стр.116] [стр.117] [стр.118] [стр.119] [стр.120] [стр.121] [стр.122] [стр.123] [стр.124] [стр.125] [стр.126] [стр.127] [стр.128] [стр.129] [стр.130] [стр.131] [стр.132] [стр.133] [стр.134] [стр.135] [стр.136] [стр.137] [стр.138] [стр.139] [стр.140] [стр.141] [стр.142] [стр.143] [стр.144] [стр.145] [стр.146] [стр.147] [стр.148] [стр.149] [стр.150] [стр.151] [стр.152] [стр.153] [стр.154] [стр.155] [стр.156] [стр.157] [стр.158] [стр.159] [стр.160] [стр.161] [стр.162] [стр.163] [стр.164] [стр.165] [стр.166] [стр.167] [стр.168] [стр.169] [стр.170] [стр.171] [стр.172] [стр.173] [стр.174] [стр.175] [стр.176] [стр.177] [стр.178] [стр.179] [стр.180] [стр.181] [стр.182] [стр.183] [стр.184] [стр.185] [стр.186] [стр.187] [стр.188] [стр.189] [стр.190] [стр.191] [стр.192] [стр.193] [стр.194] [стр.195] [стр.196] [стр.197] [стр.198] [стр.199] [стр.200] [стр.201] [стр.202] [стр.203] [стр.204] [стр.205] [стр.206] [стр.207] [стр.208] [стр.209] [стр.210] [стр.211] [стр.212] [стр.213] [стр.214] [стр.215] [стр.216] [стр.217] [стр.218] [стр.219] [стр.220] [стр.221] [стр.222] [стр.223] [стр.224] [стр.225] [стр.226] [стр.227] [стр.228] [стр.229] [стр.230] [стр.231] [стр.232] [стр.233] [стр.234] [стр.235] [стр.236] [стр.237] [стр.238] [стр.239] [стр.240] [стр.241] [стр.242] [стр.243] [стр.244] [стр.245] [стр.246] [стр.247] [стр.248] [стр.249] [стр.250] [стр.251] [стр.252] [стр.253] [стр.254] [стр.255] [стр.256] [стр.257] [стр.258] [стр.259] [стр.260] [стр.261] [стр.262] [стр.263] [стр.264] [стр.265] [стр.266] [стр.267] [стр.268] [стр.269] [стр.270] [стр.271] [стр.272] [стр.273] [стр.274] [стр.275] [стр.276] [стр.277] [стр.278] [стр.279] [стр.280] [стр.281] [стр.282] [стр.283] [стр.284] [стр.285] [стр.286] [стр.287] [стр.288] [стр.289] [стр.290] [стр.291] [стр.292] [стр.293] [стр.294]