номиальное время.)

Мы не будем подробно описывать используемое представление в конкретных задачах, считая, что оно выбрано достаточно разумно и экономно (целые числа задаются двоичной записью, конечные множества - списком элементов и т.п.) Представление объекта будем обозначать угловыми скобками: (G) - это стандартное представление объекта G. При этом множество всех строк, являющихся представлениями, оказывается полиномиальным, а различные «разумные» способы представления данных оказываются полиномиально связанными, так что можно воспользоваться леммой 36.1 и не описывать представление детально, если нас интересует лишь вопрос о полиномиальности задачи. Таким образом, в дальнейшем мы не будем делать различия между абстрактной задачей и ее строковым представлением, как это обычно и делают (кроме тех редких задач, в которых стандартное представление не очевидно - для них выбор представления может сильно повлиять на сложность решения задачи).

Формальные языки

Для задач разрешения удобно использовать терминологию теории формальных языков. Алфавитом (alphabet) £ называется любой конечный набор символов. Языком L над алфавитом £ (language L over £) называется произвольное множество строк символов из алфавита £ (такие строки называют словами в алфавите £) Например, можно рассмотреть £ = {0,1} и язык L = {10,11,101,111,1011,1101,10001,...}, состоящий из двоичных записей простых чисел. Мы будем обозначать символом е пустое слово (empty string), не содержащее символов, а символом 0 - пустой язык (empty language), не содержащий слов. Язык, состоящий из всех строк в алфавите £, обозначается £*. Например, при £ = {0,1} имеем £* = {ег, 0,1, 00, 01,10,11, 000,...}. Таким образом, всякий язык L над £ является подмножеством множества £*.

Имеется несколько стандартных операций над языками. Операции объединения (union) и пересечения (intersection) языков определяются как обычные операции объединения и пересечения множеств. Дополнением (complement) языка L называют язык L = £*\L. Конкатенацией (concatenation), или соединением, двух языков L\ и L2 называется язык

L = {xix2 : xi е Li, х2 G L2}.

Замыканием (closure) языка L называется язык

L* = {е} U L U L2 U L3 U ... ,

где Lk - язык, полученный /г-кратной конкатенацией языка L с самим собой. Операция замыкания называется также -операцией Клини (Kleene star).

Теперь можно сказать, что задача разрешения (точнее, соответствующая ей строковая задача разрешения) является языком над алфавитом £ = {0,1}. Например, задаче PATH соответствует язык PATH = {(G,u,v,k) : G = (V, Е) - неориентированный граф, , и, v G V; к 0 - целое число, и в графе G существует путь из и в v, длина которого не превосходит к}.

(Мы будем использовать одно и то же название - в данном случае PATH - для обозначения задачи и соответствующего языка.)

Продолжим знакомство с терминологией теории формальных языков. Говорят, что алгоритм А допускает (accepts) строку ж G {0,1}*, если на входе х алгоритм выдает результат 1 (А(х) = 1). Алгоритм А отвергает (rejects) слово ж, если А(х) = 0. (Заметим, что алгоритм может не остановиться на входе ж или дать ответ, отличный от 0 и 1. В этом случае он и не допускает, и не отвергает слово ж.) Алгоритм А допускает (accepts) язык L, если алгоритм допускает те и только те слова, которые принадлежат языку L.

Алгоритм А, допускающий некоторый язык L, не обязан отвергать всякое слово ж L. Если алгоритм допускает все слова из L, а все остальные слова отвергает, говорят, что что А распознаёт (decides) язык L. Язык L допускается за полиномиальное время (is accepted in polynomial time), если имеется алгоритм А, который допускает данный язык, причем всякое слово ж G L допускается алгоритмом за время 0(пк), где п - длина слова ж, а к - некоторое не зависящее от ж число. Язык L называется распознаётся за полиномиальное время (is decided in polynomial time), если некоторый алгоритм А распознаёт данный язык, причем время работы алгоритма на каждом слове длины п не больше 0(пк).

Рассмотренный нами язык PATH допускается за полиномиальное время. Нетрудно построить алгоритм, который методом поиска в ширину за полиномиальное время находит кратчайший путь между вершинами и и v в графе G, а затем сравнивает длину найденного пути с данным в условии числом к. Если длина пути не превосходит к, алгоритм выдаёт 1 и останавливается. В противном случае алгоритм зацикливается, не выдавая никакого ответа. Ясно, что такой алгоритм допускает, но не распознаёт язык PATH. Однако легко исправить описанный алгоритм таким образом, чтобы слова, не принадлежащие языку, отвергались (если длина кратчайшего пути превосходит к, надо отвергать входное слово). Такой алгоритм допускает и распознаёт язык PATH.

Отметим, что для некоторых языков (например, для множества всех программ, заканчивающих свою работу) есть допускающий, но нет распознающего алгоритма.

Мы уже дали определение класса задач Р. Ниже мы определим также класс NP. В теории сложности вычислений рассматриваются многие другие сложностные классы (complexity classes). Например, имеется важный класс PSPACE, состоящий из задач, решае-

мых алгоритмами с использованием памяти полиномиального размера, или класс ЕХР, состоящий из задач, которые можно решить за время 0(2п ). Неформально сложностной класс можно определить как семейство языков, для которых распознающие алгоритмы имеют заданную меру сложности (например заданное время работы). Мы не даём точного определения, отсылая заинтересованного читателя работе Хартманиса и Стирнса [95].

Теперь можно переформулировать определение класса Р так: Р = {L С {0,1}* : существует алгоритм А, распознающий язык Ьза полиномиальное ]

На самом деле в данной ситуации нет разницы между языками, допускаемыми и распознаваемыми за полиномиальное время.

Теорема 36.2

Р = {L : L допускается за полиномиальное время} Доказательство

Если язык распознаётся некоторым алгоритмом, то он и допускается тем же алгоритмом. Остаётся доказать, что если язык L допускается полиномиальным алгоритмом А, то он распознаётся некоторым (возможно, другим) полиномиальным алгоритмом А. Пусть алгоритм А допускает язык L за время 0(пк). Это значит, что существует константа с, для которой А допускает любое слово длины п из L, сделав не более Г = спк шагов. (Формально говоря, это верно для достаточно длинных слов ж; мы опускаем очевидные детали.)

Новый алгоритм А моделирует работу алгоритма А и считает число шагов этого алгоритма, сравнивая его с известной границей Г. Если за время Г алгоритм А допускает слово ж, алгоритм А1 также допускает это слово и выдаёт 1. Если же А не допускает ж за указанное время, то алгоритм А1 прекращает моделирование и отвергает слово (выдаёт 0). Замедление работы за счёт моделирования и подсчёта шагов не так уж и велико и оставляет время работы полиномиальным.

Заметим, что доказательство теоремы 36.2 неконструктивно: если мы имеем полиномиальный алгоритм А, допускающий язык язык L, но не знаем, каким именно полиномом ограничено время его работы, мы не можем построить алгоритма А, а можем лишь утверждать, что такой алгоритм существует.

Упражнения

36.1-1

Определим задачу оптимизации LONGEST-PATH-LENGTH. Условиями являются тройки, состоящие из неориентированного графа и двух его вершин; её решение - это самый длинный простой путь в графе, концами котро-го являются данные вершины. Рассмотрим соответствующую задачу разрешения LONGEST-PATH = {(G,u,v,k) :