|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[235] многочленов степени меньше га, требующих времени О(га1о&3). (Можно делить коэффициенты многочлена на старшую и младшую половины, а можно разделять коэффициенты при чётных и нечётных степенях.) с. Покажите, как можно умножить два га-битных целых числа за O(ralog2 3) шагов, считая, что на каждом шаге обрабатывается 0(1) битов. 32-2 Теплицевы матрицы Теплицевой матрицей (Toeplitz matrix) называется матрица А = (aij) размера га X га, для которой a8j = a8 i j i для г = 2, 3,... , га и j = 2,3,... ,га. a.Обязательно ли сумма двух теплицевых матриц является теплицевой? А произведение? b.Опишите, как представить теплицевы матрицы так, чтобы две теплицевы матрицы размера га X га можно было сложить за время О (га). c.Напишите алгоритм умножения теплицевой матрицы размера га X га на вектор длины га за время О (га lg га) (используя представление пункта Ь). d.Напишите эффективный алгоритм умножения двух теплицевых матриц размера га X га и оцените его время работы. 32-3 Вычисление значений всех производных многочлена в точке Многочлен А(х) степени меньше га задан своими коэффициентами (ao, ai,... , ara i). Мы хотим найти его значение вместе со всеми производными в заданной точке xq. а. Пусть известны коэффициенты bo, Ь\,... , Ъп-\ в представлении многочлена А(х) по степеням (ж - ж0): A(x) = J2b3 1=0 ХоУ, Как тогда найти значение многочлена А(х) и всех его производных в точке жо за время 0(га)? b.Объясните, как найти Ьо,Ь\,... ,Ъп-\ за время O(ralgra), если известны значения А(хо + oj%) при к = 0,1,... , га - 1. c.Докажите, что 3=0 "/(-/)! при -(га- 1)/0, при 1 / (га - 1). d. Объясните, как вычислить А(хо -\->кп) для к = 0,1,... , га - 1 за время О (га lgra). Покажите, что все производные многочлена А(х) в точке жо можно вычислить за время О (га lgra). 32-4 Вычисление значений многочлена в нескольких точках Мы видели, что значение многочлена в точке можно найти за время О (га), используя схему Горнера. Кроме того, мы знаем, что с помощью быстрого преобразования Фурье можно найти значения многочлена в га комплексных корнях из единицы за время 0(ralgга). Сейчас мы покажем, как вычислить значения многочлена степени меньше га в га любых точках за время 0(ralg2 га). При этом мы используем (без доказательства) тот факт, что можно найти остаток от деления одного многочлена на другой за время О (га lgra). Например, остатком от деления Зж3 + ж2 - Зж + 1 на ж2 + ж + 2 равен га точкам жо, х\,... , жга 1 мы хотим найти га значении А(хо), A(xi),... , А(хп-\). Для Oijra- 1 определим многочлены Pij(x) = Ylk=i(x - хк) и Qij = А(х) mod Pij(x). Заметьте, что степень Qij(x) не больше j - г. а.Докажите, что А(х) mod (ж - z) = A(z) для любой точки z. б.Докажите, что Qkk(x) = А(хк) и что Qo,n-i(x) = А(х). в.Докажите, что Qik{x) = Qij(x) mod Ргк{х) и Qk](x) = QtJ(x) mod Pkj(x) для i к j. г.Укажите алгоритм, вычисляющий A(xo), A(xi),... , A(xn i) за время 0(ralg2 ra). 32-5 Быстрое преобразование Фурье в кольце вычетов Дискретное преобразование Фурье (в том виде, как оно было нами определено), использует вычисления с комплексными числами, что может привести к потере точности из-за ошибок округления. Это особенно нежелательно, если исходными данными и результатами являются целые числа (например, если мы перемножаем два многочлена с целыми коэффициентами) - будет плохо, если из-за ошибок мы получим одно число вместо другого. В этом случае можно использовать вариант преобразования Фурье, использующий кольцо вычетов (в котором вычисления проводятся точно). Мы уже видели (упр. 32.2-6), что возможно использование вычетов размером Г2(га) битов для работы с га-точечным дискретным преобразованием Фурье. В этой задаче рассматривается более практичный подход, использующий i7(lg га)-битовую арифметику вычетов, (мы используем материал главы 33). Предполагается, что число га есть степень 2. а. Будем искать наименьшее к, для которого число р = кп + 1 - простое. Найдите простой эвристический довод в пользу того, (Зж3 + ж2 - Зж + 1) mod (ж2 + ж + 2) = 5ж - 3. По коэффициентам многочлена Еп - 1к к=0 акхК и что к примерно равно lg га. (Значение к может оказаться сильно большим или меньшим, но есть основания ожидать, что в среднем потребуется проверить O(lgra) кандидатов на роль к.) Пусть g является образующей группы Z* и w = gk mod p. b.Покажите, что дискретное преобразование Фурье и обратное к нему можно корректно определить для операций по модулю р, используя w в качестве главного значения корня степени га из единицы. c.Убедитесь, что быстрое преобразование Фурье и обратное к нему можно выполнить в кольце вычетов по модулю р за время О (га lgra), если считать, что операции над 0(lg га)-битовыми числами выполняются за единичное время. (Считайте р и w известны- d. Вычислите дискретное преобразование Фурье вектора (0,5,3,7,7,2,1,6), используя вычисления по модулю 17. Заметьте, что g = 3 является генератором Z*7. Замечания Пресс, Флэнери, Тьюкольски и Веттерлинг (Vetterling) [161, 162] дают хорошее описание быстрого преобразования Фурье и его приложений. Хорошее введение в теорию обработки сигналов (область, где быстрое преобразование Фурье применяется чаще всего) написали Оппенгейм и Уилски [153]. Обычно изобретение метода быстрого преобразования Фурье в 1960-х годах связывают с именами Кули и Тьюки [51]. На самом деле этот метод неоднократно встречался и раньше, но его важность стала очевидной лишь с появления современных цифровых вычислительных машин. Пресс, Флэнери, Тьюкольски и Веттерлинг указывают, что этот метод знали Рунге (Runge) и Кёниг (Konig) ещё в 1924 году. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||