|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[225] а также 2 операции обращения матриц того же размера и О (га2) сложений и других операций. Получаем рекуррентную формулу /(га) 2/(га/2) + 4М(га/2) + dn2 для некоторго фиксированного d. Пусть С - достаточно большая константа (насколько, увидим дальше). Тогда можно доказывать неравенство /(га) <С СМ(га) по индукции: /(га) 2/(га/2) + 4М(га/2) + dn2 2СМ(га/2) + 4М(га/2) + dn2 CciM(ra/2) СМ(га) Надо только проверить, что при достаточно больших С переход от второй строки к третьей в этом неравенстве законен. В самом деле при больших С основной вклад даёт первое слагаемой второй строки (напомним, что М(п) га2, так как нужно вычислить все га2 элементов произведения), и остаётся вспомнить, что с\ > 2 по условию теоремы. Итак, с положительно определёнными симметрическими матрицами мы разобрались. Если невырожденная матрицы А не является положительно определённой симметрическрй матрицей, то рассмотрим матрицу АТА, которая уже будет таковой (упражнению 31.13, теорема 31.6). Остаётся заметить, что А-1 = (АТА)-1АТ1 поскольку ((АТА)~1АТ)А = (АтА)~1(АТА) = 1п, а обратная матрица единственна. Видно, что достаточно вычислить произведение АтА, обратить его (как - мы уже знаем) и умножить результат на матрицу Ат. Каждый из трёх шагов требует времени 0(М(п)), следовательно, всякую невырожденную матрицу можно обратить за время 0(М(п)). Доказательство теоремы 31.12 наводит на мысль о новом способе решения системы Ах = Ь с невырожденной матрицей А, не требующем в себя выбора главного элемента. Умножив уравнение слева на (невырожденную) матрицу Ат, получим эквивалентное уравнение (А1А)х = АТЬ. Матрица АтА является положительно определённой симметрической матрицей, и для неё можно найти LU-разложение с помощью процедуры LU-Decomposition, а затем решить систему с правой частью АТЬ, используя прямую и обратную подстановку. Всё это, конечно, так, но на практике лучше применить процедуру LUP-Decomposition к исходной матрице А при этом константа в оценке для числа операций меньше, и ошибки округления меньше сказываются на результате. Упражнения 31.5-1 Докажите, что умножение матриц столь же трудно, как и возведение матрицы в квадрат: докажите что если М(п) - время, требуемое для умножения двух (га X га)Кматриц, a S(n) - время, нужное для возведения (га X га)-матрицы в квадрат, то S(n) = 0(М(га)). 31.5-2 Докажите, что умножение матриц столь же трудно, как и вычисление LUP-разложения. Формально говоря, докажите что если М(га) - время, требуемое для умножения двух (га X га)-матриц, а L(n) - время, нужное для вычисления LUP-разложения (га X га)-матрицы, то L(n) = 0(М(га)). 31.5-3 Докажите, что вычисление определителя не труднее умножения матриц: докажите что если М(га) - время, требуемое для умножения двух (га X га)-матриц, то определитель (га X га)-матрицы можно вычислить за время D(n) = 0(М(п)). 31.5-4 Пусть М(га)) - время, нужное для умножения двух булевых матриц размера га X га, а Т(п) - время, нужное для вычисления транзитивного замыкания булевой (га X га)-матрицы. Покажите, что М(га) = 0(Т(п)) и Т(п) = 0(М(п) lgra) при некоторых естественных предположениях на М и Т. 31.5-5 Применим ли метод обращения матриц из доказательства теоремы 31.12 к матрицам над полем вычетов по модулю 2? Почему? 31.5-6* Как обобщить алгоритм из доказательства теоремы 31.12 на случай матриц над полем комплексных чисел? (Указание. Транспонирование матрицы заменяется сопряжением: матрица A* (conjugate transpose) получается комплексным сопряжением всех элементов в Ат. Роль симметрических матрицы играют эрмитовы, для которых А = А*.) 31.4. Положительно определённые симметрические матрицы и метод наименьших квадратов Это очень важный класс матриц, и они обладают разными по-лежными свойствами. Например, такая матрица не может быть вырожденной; при построении LU-разложения можно не проводить выбора главного элемента - всё равно деления на ноль не будет, как мы увидим. В этом разделе мы покажем, как их можно использовать для так называемого приближения методом наименьших квадратов. Начнём с такого важного свойства: Лемма 31.13 Любая положительно определённая симметрическая матрица является невырожденной. Доказательство. Пусть матрица А вырождена и ж - ненулевой вектор, для которого Ах = 0 (следствие 31.3). Тогда хТАх = 0, и потому матрица А не может быть положительно определённой. Теперь перейдем к более сложному вопросу: почему процедура LU-Decomposition для случая положительно определённых симметрических матриц обходится без деления на 0. Нам понадобится понятие к-го углового минора (leading submatrix) матрицы А. Он определяется как подматрица, стоящая на пересечении первых к строк и первых к столбцов матрицы А; обозначим его Ак. Лемма 31.14 Всякий угловой минор положительно определённой симметрической матрицы сам являетя положительно определённой симметрической матрицей. Доказательство. Симметричность очевидна. Для доказательства положительной определённости минора Ак возьмём произвольный /г-элементный вектор ж. Разбив матрицу матрицы А на блоки и применив условие положительной определённости к вектору, дополненному нулями, получаем требуемое: хтАкх=(хт 0)( Bc)(l) = (жТ °Ко) > 0. Теперь посмотрим на дополнение Шура для положительно определённых матриц. Пусть Ак - главный минор положительно определённой симметрической матрицы А. Разобьём А на блоки следующим образом: А={Ав Вс)-(31/28) Дополнением Шура к подматрице Ак матрицы A (Schur complement of A with respect to Ак) будем называть матрицу S = C - BAB7.(31.29) По лемме 31.14 матрица Ак является положительно определённой симметрической матрицей, поэтому (лемма 31.13) А1 существует. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||