Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[220]

Вычитание матрицы (matrix subtraction) мы теперь можем определить как прибавление противоположной матрицы: А - В = А +

Умножение матрицы А на матрицу В (matrix multiplication) осуществимо, лишь если они имеют согласованные размеры, то есть число столбцов А совпадает с числом строк В. (Запись АВ подразумевает, что матрицы А и В имеют согласованные размеры.) Если А = (aij) - (тохга)-матрица, а В = (bij) - (гахр)-матрица, то их произведением С = АВ называется (то X р)-матрица С = (c8j), в которой

п

Сгк = 2аг3Ь1к(31.3)

3 = 1

для г = 1,2,... , то и к = 1,2,... , р. Именно эту формулу реализует процедура Matrix-Multiply из раздела 26.1, умножающая квадратные матрицы (то = га = р). Чтобы вычислить произведение двух (га х га) матриц, Matrix-Multiply выполняет п3 умножений и п2(п - 1) сложений, так что время её работы есть 0(га3).

Матрицы обладают многими (хотя и не всеми) свойствами чисел. Единичная матрица является нейтральным элементом для умножения: для любой (то X га)-матрицы А:

1-тА - А1п - А Умножение на нулевую матрицу даёт нулевую матрицу:

АО = 0.

Умножение матриц ассоциативно:

А(ВС) = (АВ)С(31.4)

для любых матриц А, В и С согласованных размеров. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения:

А(В + С) = АВ + АС, ,

(B + C)D = BD + CD[ >

При п ф 1 умножение га X га матриц, вообще говоря, не коммута-

0 1 \ „ /00

тивно. Напрмер, для А=( о)И=1о 1 имеем

АВ

но

В А

10

00

00

01


Многие ненулевые га X га матрицы не имеют обратных. Матрицы, не имеющие обратных, называются необратимыми (noninvertible) или вырожденными (singular). Пример ненулевой вырожденной матрицы:

Матрица, имеющая обратную, называется обратимой (invertible) или невырожденной (nonsingular). Если обратная матрица существует, то она единственна (см.упражнение 31.1-4). Если га X га матрицы А и В обратимы, то

(BA)~l = А~1В~1.(36.1)

Операция обращения матрицы перестановочна с операцией транспонирования:

(A--f = (А)-\

Говорят, что векторы xi,X2,... ,хп линейно зависимы (linearly dependent), если найдётся набор коэффициентов ci,C2,... ,сп, не

Считая вектор-столбец (их 1)-матрицей, а вектор-строку - (1 X га)-матрицу, мы можем перемножать векторы и матрицы. Если А - тохга матрица, а ж - вектор из га компонент, то произведение Ах есть вектор из т компонент. Если ж и у - векторы из га компонент, то произведение

п

хТу = 2 хш

8 = 1

представляет собой число ((1 X 1)-матрицу), называемое скалярным произведением (inner product) ж и у. Матрица Z = хут размера га X га с элементами Zij = XjZj называется тензорным произведением (outer product) этих же векторов. Евклидова норма (euclidean norm) ж вектора ж определяется равенством

/2, 2,, 2\1/2

Ж - 11 ~т~ Хп)

= (хТх)11\

Норма вектора ж - это его длина в га-мерном евклидовом пространстве.

Обратная матрица, ранг и детерминант.

Матрицей, обратной к (га X га)-матрице A (inverse of А) называется матрица А-1, для которой АА-1 = 1п = А-1 А. (если таковая существует). Например,


все из которых равны нулю, для которого С\Х\А-С2Х2 + - --\-спхп = 0. Например, векторы (1 2 3)Т, (2 6 4)Т, и (4 11 9)Т зависимы, поскольку 2ж1+3ж2 -2жз = 0. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми (linearly independent). Таковы, например, столбцы единичной матрицы.

Столбцовым рангом (column rank) ненулевой то X га-матрицы А называется наибольшее число линейно независимых столбцов А. Строчным рангом (row rank) называется наибольшее число линейно независимых строк. Для любой матрицы А эти два числа рангов совпадают, так что их общее значение называется просто рангом (rank) А. Ранг (то X га)-матрицы представляет собой целое число в пределах от 0 до min (га, то). (Ранг нулевой матрицы равен 0, а ранг единичной матрицы 1п равен га.) Приведём эквивалентное определение, иногда более удобное: рангом ненулевой (то X га)-матрицы А называется наименьшее число г, для которого найдутся матрицы В ж С размеров то X г и г X га соответственно, для которых

А = ВС.

Квадратная га X га матрица ранга га называется матрицей полного ранга (has full rank). Основное свойство рангов таково: Теорема 31.1

Квадратная матрица имеет полный ранг тогда и только тогда, когда она невырождена.

Матрица размера то X га, имеющая ранг га, называется матрицей полного столбцового ранга (has full column rank).

Ненулевой вектор ж, для которого Ах = 0, называется аннулирующим вектором (null vector) матрицы А. Следующая теорема (доказательство которой оставляется читателю в качестве упр. 31.18) и её следствие устанавливают связь между существованием аннулирующего вектора, вырожденностью и величиной столбцового ранга.

Теорема 31.2

Матрица имеет полный столбцовый ранг тогда и только тогда, когда для неё не существует аннулирующего вектора. Следствие 31.3

Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда для неё найдётся аннулирующий вектор.

Минором элемента a8j матрицы А размера га X га (ijth minor) называется (га - 1) X (га - 1)-матрица А, получаемая вычёркиванием г - й строки и j -го столбца в матрице А. Теперь определитель (determinant) матрицы А задаётся такой рекурсивной формулой:

{апесли га = 1,

andet(A[4-j]) - а12 det(A[12]) + Н-----Ь (-l)n+1alndet(A[ln]) если га > 1.



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53] [стр.54] [стр.55] [стр.56] [стр.57] [стр.58] [стр.59] [стр.60] [стр.61] [стр.62] [стр.63] [стр.64] [стр.65] [стр.66] [стр.67] [стр.68] [стр.69] [стр.70] [стр.71] [стр.72] [стр.73] [стр.74] [стр.75] [стр.76] [стр.77] [стр.78] [стр.79] [стр.80] [стр.81] [стр.82] [стр.83] [стр.84] [стр.85] [стр.86] [стр.87] [стр.88] [стр.89] [стр.90] [стр.91] [стр.92] [стр.93] [стр.94] [стр.95] [стр.96] [стр.97] [стр.98] [стр.99] [стр.100] [стр.101] [стр.102] [стр.103] [стр.104] [стр.105] [стр.106] [стр.107] [стр.108] [стр.109] [стр.110] [стр.111] [стр.112] [стр.113] [стр.114] [стр.115] [стр.116] [стр.117] [стр.118] [стр.119] [стр.120] [стр.121] [стр.122] [стр.123] [стр.124] [стр.125] [стр.126] [стр.127] [стр.128] [стр.129] [стр.130] [стр.131] [стр.132] [стр.133] [стр.134] [стр.135] [стр.136] [стр.137] [стр.138] [стр.139] [стр.140] [стр.141] [стр.142] [стр.143] [стр.144] [стр.145] [стр.146] [стр.147] [стр.148] [стр.149] [стр.150] [стр.151] [стр.152] [стр.153] [стр.154] [стр.155] [стр.156] [стр.157] [стр.158] [стр.159] [стр.160] [стр.161] [стр.162] [стр.163] [стр.164] [стр.165] [стр.166] [стр.167] [стр.168] [стр.169] [стр.170] [стр.171] [стр.172] [стр.173] [стр.174] [стр.175] [стр.176] [стр.177] [стр.178] [стр.179] [стр.180] [стр.181] [стр.182] [стр.183] [стр.184] [стр.185] [стр.186] [стр.187] [стр.188] [стр.189] [стр.190] [стр.191] [стр.192] [стр.193] [стр.194] [стр.195] [стр.196] [стр.197] [стр.198] [стр.199] [стр.200] [стр.201] [стр.202] [стр.203] [стр.204] [стр.205] [стр.206] [стр.207] [стр.208] [стр.209] [стр.210] [стр.211] [стр.212] [стр.213] [стр.214] [стр.215] [стр.216] [стр.217] [стр.218] [стр.219] [стр.220] [стр.221] [стр.222] [стр.223] [стр.224] [стр.225] [стр.226] [стр.227] [стр.228] [стр.229] [стр.230] [стр.231] [стр.232] [стр.233] [стр.234] [стр.235] [стр.236] [стр.237] [стр.238] [стр.239] [стр.240] [стр.241] [стр.242] [стр.243] [стр.244] [стр.245] [стр.246] [стр.247] [стр.248] [стр.249] [стр.250] [стр.251] [стр.252] [стр.253] [стр.254] [стр.255] [стр.256] [стр.257] [стр.258] [стр.259] [стр.260] [стр.261] [стр.262] [стр.263] [стр.264] [стр.265] [стр.266] [стр.267] [стр.268] [стр.269] [стр.270] [стр.271] [стр.272] [стр.273] [стр.274] [стр.275] [стр.276] [стр.277] [стр.278] [стр.279] [стр.280] [стр.281] [стр.282] [стр.283] [стр.284] [стр.285] [стр.286] [стр.287] [стр.288] [стр.289] [стр.290] [стр.291] [стр.292] [стр.293] [стр.294]