|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[220] Вычитание матрицы (matrix subtraction) мы теперь можем определить как прибавление противоположной матрицы: А - В = А + Умножение матрицы А на матрицу В (matrix multiplication) осуществимо, лишь если они имеют согласованные размеры, то есть число столбцов А совпадает с числом строк В. (Запись АВ подразумевает, что матрицы А и В имеют согласованные размеры.) Если А = (aij) - (тохга)-матрица, а В = (bij) - (гахр)-матрица, то их произведением С = АВ называется (то X р)-матрица С = (c8j), в которой п Сгк = 2аг3Ь1к(31.3) 3 = 1 для г = 1,2,... , то и к = 1,2,... , р. Именно эту формулу реализует процедура Matrix-Multiply из раздела 26.1, умножающая квадратные матрицы (то = га = р). Чтобы вычислить произведение двух (га х га) матриц, Matrix-Multiply выполняет п3 умножений и п2(п - 1) сложений, так что время её работы есть 0(га3). Матрицы обладают многими (хотя и не всеми) свойствами чисел. Единичная матрица является нейтральным элементом для умножения: для любой (то X га)-матрицы А: 1-тА - А1п - А Умножение на нулевую матрицу даёт нулевую матрицу: АО = 0. Умножение матриц ассоциативно: А(ВС) = (АВ)С(31.4) для любых матриц А, В и С согласованных размеров. Умножение матриц дистрибутивно относительно сложения: А(В + С) = АВ + АС, , (B + C)D = BD + CD[ > При п ф 1 умножение га X га матриц, вообще говоря, не коммута- 0 1 \ „ /00 тивно. Напрмер, для А=( о)И=1о 1 имеем АВ но В А 10 00 00 01 Многие ненулевые га X га матрицы не имеют обратных. Матрицы, не имеющие обратных, называются необратимыми (noninvertible) или вырожденными (singular). Пример ненулевой вырожденной матрицы: Матрица, имеющая обратную, называется обратимой (invertible) или невырожденной (nonsingular). Если обратная матрица существует, то она единственна (см.упражнение 31.1-4). Если га X га матрицы А и В обратимы, то (BA)~l = А~1В~1.(36.1) Операция обращения матрицы перестановочна с операцией транспонирования: (A--f = (А)-\ Говорят, что векторы xi,X2,... ,хп линейно зависимы (linearly dependent), если найдётся набор коэффициентов ci,C2,... ,сп, не Считая вектор-столбец (их 1)-матрицей, а вектор-строку - (1 X га)-матрицу, мы можем перемножать векторы и матрицы. Если А - тохга матрица, а ж - вектор из га компонент, то произведение Ах есть вектор из т компонент. Если ж и у - векторы из га компонент, то произведение п хТу = 2 хш 8 = 1 представляет собой число ((1 X 1)-матрицу), называемое скалярным произведением (inner product) ж и у. Матрица Z = хут размера га X га с элементами Zij = XjZj называется тензорным произведением (outer product) этих же векторов. Евклидова норма (euclidean norm) ж вектора ж определяется равенством /2, 2,, 2\1/2 Ж - 11 ~т~ Хп) = (хТх)11\ Норма вектора ж - это его длина в га-мерном евклидовом пространстве. Обратная матрица, ранг и детерминант. Матрицей, обратной к (га X га)-матрице A (inverse of А) называется матрица А-1, для которой АА-1 = 1п = А-1 А. (если таковая существует). Например, все из которых равны нулю, для которого С\Х\А-С2Х2 + - --\-спхп = 0. Например, векторы (1 2 3)Т, (2 6 4)Т, и (4 11 9)Т зависимы, поскольку 2ж1+3ж2 -2жз = 0. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми (linearly independent). Таковы, например, столбцы единичной матрицы. Столбцовым рангом (column rank) ненулевой то X га-матрицы А называется наибольшее число линейно независимых столбцов А. Строчным рангом (row rank) называется наибольшее число линейно независимых строк. Для любой матрицы А эти два числа рангов совпадают, так что их общее значение называется просто рангом (rank) А. Ранг (то X га)-матрицы представляет собой целое число в пределах от 0 до min (га, то). (Ранг нулевой матрицы равен 0, а ранг единичной матрицы 1п равен га.) Приведём эквивалентное определение, иногда более удобное: рангом ненулевой (то X га)-матрицы А называется наименьшее число г, для которого найдутся матрицы В ж С размеров то X г и г X га соответственно, для которых А = ВС. Квадратная га X га матрица ранга га называется матрицей полного ранга (has full rank). Основное свойство рангов таково: Теорема 31.1 Квадратная матрица имеет полный ранг тогда и только тогда, когда она невырождена. Матрица размера то X га, имеющая ранг га, называется матрицей полного столбцового ранга (has full column rank). Ненулевой вектор ж, для которого Ах = 0, называется аннулирующим вектором (null vector) матрицы А. Следующая теорема (доказательство которой оставляется читателю в качестве упр. 31.18) и её следствие устанавливают связь между существованием аннулирующего вектора, вырожденностью и величиной столбцового ранга. Теорема 31.2 Матрица имеет полный столбцовый ранг тогда и только тогда, когда для неё не существует аннулирующего вектора. Следствие 31.3 Квадратная матрица вырождена тогда и только тогда, когда для неё найдётся аннулирующий вектор. Минором элемента a8j матрицы А размера га X га (ijth minor) называется (га - 1) X (га - 1)-матрица А, получаемая вычёркиванием г - й строки и j -го столбца в матрице А. Теперь определитель (determinant) матрицы А задаётся такой рекурсивной формулой: {апесли га = 1, andet(A[4-j]) - а12 det(A[12]) + Н-----Ь (-l)n+1alndet(A[ln]) если га > 1. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||