Например,

Д - ( 0,11 0,12 0,13

«21 «22 «23 ,

1 2 3 4

4 5 6

является 2x3 матрицей А й строки и j-ro столбца стоит элемент a8j (г = 1,2 и j = 1,2,3). Мы будем обозначать матрицы большими буквами, а их элементы - соответствующими маленькими буквами с нижними индексами. Множество всех (то X га)-матриц с вещественными элементами обозначается MmXn. В общем случае, множество матриц размера то X га, элементы которых берутся из множества S, обозначается

gmXn

При транспонировании матрицы А её строки становятся столбцами и наоборот. Матрица, получаемая из А транспонированием, обозначается АТ (the transpoose of А). Например, для матрицы А из (31.1)

1 4 Ат = [ 2 5 3 6

Вектором (vector) называется одномерный массив чисел. Например,

м

3(31.2)

ч

является вектором из трёх элементов. Мы будем обозначать векторы маленькими буквами. Для г -го элемента вектора ж, состоящего из га элементов, применяется обозначение жг- (г = 1,2,..., га). Стандартной формой вектора мы будем считать вектор-столбец (то есть гах 1-матрицу); при его транспонировании получается вектор-строка:

хТ = ( 2 3 5 ).

Вектор, г-й элемент которого равен 1, а все остальные элементы равны 0, называют единичным вектором (unit vector) и обозначают ег-. Количество элементов единичного вектора обычно определяется из контекста.

Нулевой матрицей (zero matrix) называется матрица, все элементы которой равны 0. Такая матрица обычно обозначается 0. Что понимать под этим обозначением - число 0 или нулевую матрицу - обычно ясно из контекста; если имеется в виду матрица, то размер её тоже определяется из контекста.

Часто встречаются квадратные матрицы (square matrices) - матрицы размера га X га. Некоторые их виды мы отметим особо.

1. У диагональной матрицы (diagonal matrix) все внедиагональ-ные элементы равны нулю (a8j = 0 при г ф j), поэтому она может быть задана перечислением элементов, стоящих на диагонали.

diag(an, а22,

( «и О

О

«22

о \

о

\ 0 0 ... апп)

2. Единичной матрицей (identity matrix) называется диагональная матрица, диагональ которой заполнена единицами:

diag(l, 1,1)

/1 о О 1

о

о

Иногда индекс га при букве / опускается; размер матрицы в этом случае определяется из контекста. Столбцами единичной матрицы служат векторы е\,е2,... ,еп.

3. У трёхдиагоналъной матрицы (tridiagonal matrix) ненулевые элементы могут появляться на главной диагонали (ti при г = 1,2,... , га), прямо над ней (£8>+i ПРИ г = 1, 2,... , га - 1), или прямо под ней (£г+1,г ПРИ г = 1, 2,... , га - 1). Все остальные элементы

3\ > 1):

равны нулю (tij = 0 при \i

tl2

t22

(hi

*21

T

о

23

0 0

Vo

0 0

tn-2,n-2 tn-l,n-2

0

0 0

tn-2,n-l tn - l,n - l tn,n - l

0 0

0

п - 1,п

\

4. У верхне-треугольной матрицы (upper-triangular matrix) все элементы под главной диагональю равны нулю (uij = 0 при г > j):

U

( ни О

И12 U22

О

U2;

\ 0 0 ... ипп/

5. У нижне-треугольной матрицы (lower-triangular matrix) все элементы над главной диагональю равны нулю (/8j = 0 при г < j):

и 0 ... 0\

/l2 /22 • • • О

L

\Jnl п2 • • • пп J

6. Матрица перестановки (permutation matrix) имеет в точности одну единицу в каждой строке и каждом столбце; на всех прочих местах у неё стоят нули. Пример матрицы перестановки:

Р

/О1ооо\

00010

10000 00001

\001оо/

Умножение вектора х на матрицу перестановки приводит к перестановке его элементов.

7. Симметрическая матрица (symmetric matrix) удовлетворяет условию А = АТ. Например, матрица

А

является симметрической. Действия с матрицами.

Элементами матрицы или вектора служат элементы некоторой числовой системы (действительные числа, комплексные числа, остатки по модулю простого числа). Операции сложения и умножения в этой числовой системе можно распространить на матрицы с элементами из неё.

Определим сложение матриц (matrix addition) следующим образом. Пусть даны (то X га)-матрицы А = (a8j) и В = (bij). Назовём их суммой (то X га)-матрицу С = (c8j) = А + В с элементами

Cij - aj -\- bjj,

где г = 1, 2,... , то и j = 1, 2,... , п. Другими словами, сложение матриц осуществляется покомпонентно. Нулевая матрица является нейтральным элементом для операции сложения матриц:

А + 0 = А

= 0 + А

Пусть А - число, а А = (a8j) - матрица. Можно умножить матрицу А на число А, умножив каждый элемент А на А. Результат умножения -матрица ХА = (Aa8j) (scalar multiple of А). Особо отметим матрицу -А = ( -1) • А, называемую противоположной к А матрицей (negative of a matrix А). Элемент с индексами ij в матрице - А равен -a8j, поэтому

А+{-А) = 0

= (-А) + А