Рис. 28.5 (а) Сортирующая сеть рисунка 28.2 для входов (9,5,3,6). (Ь) Та же сеть после применения монотонной функции f(x) = \х/2~\ ко всем входам. Значение на каждом проводе получается применением / к старому значению на том же проводе.

что на выходах схемы появятся значения f(b\), /(2), • • • , f(bn) > гДе &i, 625 • • • , bn - прежние выходные значения. Лемма доказана.

Рисунок 28.5 иллюстрирует утверждение леммы 28.1 для сортирующей сети рис. 28.2 и функции /(ж) = [ж/2]. Часть (а) показывает значения на проводах до применения / (дублируя рис. 28.2 (d), а часть (Ь) - после.

С помощью леммы 28.1 легко доказать следующий замечательный результат.

Теорема 28.2 (Правило нуля и единицы)

Если сеть компараторов с га входами правильно упорядочивает все 2п возможных последовательностей нулей и единиц, то она является сортирующей, то есть правильно упорядочивает любую числовую последовательность.

Доказательство.

Пусть это не так, и есть числовая последовательность (ai, 6S2,... , ап), на которой сеть ошибается. Это означает, что есть элементы аг-, aj, для которых аг- < aj и aj попадает в выходную последовательность раньше аг-. Нам надо показать, что существует последовательность нулей и единиц, на которой сеть работает неправильно. Для этого рассмотрим монотонную функцию функцию /:

г, s ГО, если х < а,-, f(x) = <, , v [С если х > ai

Применим её к входам сети, то есть подадим на вход последовательность нулей и единиц (f(ai), f(a2), , f(an)). Согласно лемме 28.1 к выходным значениям также применится функция /. При этом f(aj) будет стоять на месте aj, то есть раньше /(аг). Но f(aj) = 1, a f(ai) = 0. Теорема доказана.

Упражнения

28.2-1

Ко всем членам упорядоченной последовательности применили монотонно возрастающую функцию /. Останется ли последовательность упорядоченной?

28.2-2

Докажите, что сеть компараторов с п входами правильно упорядочивает последовательность (га, п - 1,... ,1) тогда и только тогда, когда она правильно упорядочивает все га - 1 последовательностей нулей и единиц: (1, 0,... , 0), (1, 0,... , 0), ..., (1,1,... , 1, 0).

28.2-3

Используя правило нуля и единицы, докажите, что сеть компа-

Рис. 28.6 Сортирующая сеть для 4 чисел

раторов на рисунке 28.6 - сортирующая. 28.2-4

Сформулируйте и докажите аналог правила нуля и единицы для алгоритмов сортировки в модели разрешающих деревьев (раздел 9.1). (Указание. Не забудьте про равные элементы.)

28.2-5

Докажите, что для любого г = 1, 2,... , га - 1 сортирующая сеть обязана содержать хотя бы один компаратор, соединяющий прямые г и г + 1.

28.3. Битонический сортировщик

Построение эффективной сортирующей сети мы начнём с так называемого битонического сортировщика, который сортирует так называемые битонические последовательности.

Мы называем битонической (bitonic) любую последовательность, которая сначала возрастает, а потом убывает, или получается из такой циклическим сдвигом. Если записать элементы битонической последовательности по кругу, то минимальный и максимальный её элементы делят последовательность на два монотонных участка.

Например, последовательности (1,4,6,8,3,2), (6,9,4,2,3,5) и (9,8,3,2,4,6) - битонические. Битонические последовательность нулей и единиц имеют вид либо 1*0J 1, либо ОСО, где i,j,k 0. Записанные по кругу, они состоят из двух групп - в одной нули, в другой единицы, и группы не смешиваются. Отметим, что монотонные последовательности являются частным случаем битонических.

В этом разделе будет построен битонический сортировщик - сеть компараторов, правильно сортирующая битонические последовательности нулей и единиц. В упражнении 28.3-6 мы предложим вам показать, что он годится для произвольных битонических последовательностей.

Полу очиститель

Битонического сортировщик состоит из нескольких частей разных размеров, которые мы будеи называть «полуочистителями» (half-cleaner). Полуочиститель размера га есть сеть глубины 1, в которой компараторы соединяюи провода одной половины с проводами другой [г и г + га/2 соединены при г = 1,2,... , га/2; предполагается, что га четно). На рисунке 28.7 показан Half-Cleaner[8] - полуочиститель размера 8.

Рис. 28.7 Полуочиститель Half-Cleaner[8] и две различные входные последовательности нулей и единиц. Если входная последовательность является би-тонической последовательностью нулей и единиц, то после её обработки любой элемент верхней половины выхода меньше любого элемента нижней половины (или равен ему); одна из половин - битоническая, а другая состоит только из нулей или только из единиц («чистая»).

Рис. 28.8 Четыре возможности при работе сети Half-Cleaner[n]. На вход подаётся битоническая последовательность нулей и единиц; мы считаем, что она имеет вид 00 . . . 011 . . . 100 ... 0. Нулевые участки на рисунке белые, единичные - серые. Входная последовательность разрезается на две половины, которые почленно сравниваются. (а)-(Ь) Случаи, когда точка раздела попадает в кусок из единиц, (c)-(d) Точка раздела проходит по нулевому участку. Во всех случаях выполнены утверждения (1)-(3) леммы 28.3.

Основное свойство полуочистителя, объясняющее его название, таково:

Лемма 28.3.

Пусть на вход полуочистителю подана битоническая последовательность нулей и единиц. Получающаяся выходная последовательность обладает следующими свойствами: (1) ее верхняя и нижняя половины - битонические; (2) любой элемент верхней половины меньше любого элемента из нижней (или равен ему); (3) хотя бы одна из половин - чистая (и, следовательно, битоническая)

Доказательство. Будем предполагать, что вход имеет вид 00 .. .011.. .100 .. .0 (случай 11...100 ...011... 1 симметричен). Сеть Half-С leaner [га] сравнивает вход аг- со входом аг-+гг/2> поэтому возможны три расположения блока единиц относительно середины последовательности, причем случай, когда середина приходится на блок единиц, распадается на два подслучая. Как видно из рис. 28.8, лемма справедлива во всех четырёх случаях.

Битонический сортировщик

Битонический сортировщик (bitonic sorter) рекурсивно строится из полуочистителей, как показано на рис. 28.9. Сеть Bitonic-SoRTER[ra] состоит из полуочистителя Half-С leaner [га] и двух экземпляров сети BlTONlc-SoRTER[ra/2]. По лемме 28.3 полуочиститель делает из входной битонической последовательности две битонические последовательности (одна из них чистая) половинного размера. При этом любой элемент верхней меньше (или равен) любого элемента другой. После этого остаётся упорядочить каждую из них при помощи сети BlTONlc-SoRTER[ra/2]. На рис. 28.9(a) показан общая структура сети, а на рис. 28.9(b) рекурсия развёрнута до конца. Таким образом строится битонический сортировщик с га входами, где га - произвольная степень двойки.