|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[17] i log4 га. Заметив, что ra/48J га/4г, мы можем оценить наш ряд убывающей геометрической прогрессией (плюс последний член, соответствующий 3log4n задачам ограниченного размера): Т(п) га + Зга/4 + 9га/16 + 27га/64 + ... + 3log4 пв(1) со , . i raEu +0(ralog43) 8 = 0 7 = 4га + о(га) = 0(п) (Мы заменили конечную сумму из не более чем log4 га + 1 членов на сумму бесконечного ряда, а также переписали 3log411 как ralog43, что есть о(га), так как log4 3 < 1.) Часто преобразование рекуррентного соотношения в сумму приводит к довольно сложным выкладкам. При этом важно следить за двумя вещами: сколько шагов подстановки требуется и какова сумма членов, получающихся на данном шаге. Иногда несколько первых шагов позволяют отгадать ответ, который затем удаётся доказать по индукции (с меньшим количеством вычислений). Особенно много хлопот доставляют округления (переход к целой части). Для начала стоит предположить, что значения параметра таковы, что округления не требуются (в нашем примере при га = 4к ничего округлять не придётся). Вообще говоря, такое предположение не вполне законно, так как оценку надо доказать для всех достаточно больших целых чисел, а не только для степеней четвёрки. Мы увидим в разделе 4.3, как можно обойти эту трудность (см. также задачу 4-5). Деревья рекурсии Процесс подстановки соотношения в себя можно изобразить в виде дерева рекурсии (recursion tree). Как это делается, показано на рис. 4.1 на примере соотношения Г(га) = 2Г(га/2) + га2. Для удобства предположим, что га - степень двойки. Двигаясь от (а) к (г), мы постепенно разворачиваем выражение для Т(п), используя выражения для Т(п), Г(га/2), Г(га/4) и т.д. Теперь мы можем вычислить Т(п), складывая значения вершин на каждом уровне. На верхнем уровне получаем га2, на втором - (п/2)2 + (п/2)2 = га2/2, на третьем - (га/4)2 + (га/4)2 + (га/4)2 + (га/4)2 = га2/4. Получается убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой отличается от её первого члена не более чем на постоянный множитель. Итак, Т(п) = ©(га2). На рис. 4.2 показан более сложный пример - дерево для соотношения Т(п) = Г(га/3) + Г(2га/3) + га Рис. 4.1 Дерево рекурсии для соотношения Т(п) = 2Т(п/2) + п2. Высота полностью развернутого дерева (г) равна lg п (дерево имеет lg п + 1 уровней). Рис. 4.2 Дерево рекурсии для соотношения Т(п) = Т(п/3) + Т(2п/3) + п. Total=Bcero (для простоты мы вновь игнорируем округления). Здесь сумма значений на каждом уровне равна га. Дерево обрывается, когда значения аргумента становятся сравнимыми с 1. Для разных ветвей это происходит на разной глубине, и самый длинный путь (при таком к мы имеем (2/3)fcra = 1). Поэтому Г( га) можно оценить как O(ralgra). Упражнения 4.2-1 Итерируя (подставляя в себя) соотношение Т(п) = ЗТ( га/2 ) + га, найдите хорошую верхнюю асимптотическую оценку для Т(п). 4.2-2 Анализируя дерево рекурсии, покажите, что Т(п) = Т(га/3) + Т(2га/3) + га влечёт Т(п) = fi(ralgra). 4.2-3 Нарисуйте дерево рекурсии для Т(п) = 4Т( га/2 ) + га и получите асимптотически точные оценки для Т(п). 4.2-4 С помощью итераций решите соотношение Т(п) = Т(п - а) + Т(а) + п, где а 1 - некоторая константа. 4.2-5 С помощью дерева рекурсии решите соотношение Т(п) = Т(ап) + Г((1 - а)п) + га, где а - константа в интервале 0 < а < 1. Этот метод годится для рекуррентных соотношений вида где а ) 1 и ft > 1 - некоторые константы, а / - положительная (по крайней мере для больших значений аргумента) функция. Он даёт общую формулу; запомнив её, можно решать в уме различные рекуррентные соотношения. Соотношение (4.5) возникает, если алгоритм разбивает задачу размера га на а подзадач размера га/6, эти подзадачи решаются рекурсивно (каждая за время Т(п/Ъ)) и результаты объединяются. При этом затраты на разбиение и объединение описываются функцией /(га) (в обозначениях раздела 1.3.2 /(га) = С(п) + D(n)). Например, для процедуры Merge-Sort мы имеем а = 2, 6 = 2, Как всегда, в формуле (4.5) возникает проблема с округлением: га/6 может не быть целым. Формально следовало бы заменить 4.3. Общий рецепт (4.5) /(га) = 0(га). |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||