для всех га, начиная с некоторого. Подберём с так, чтобы оценка Г(га) cralgra была верна при га = 2 и га = 3. Тогда для больших га можно рассуждать по индукции, и опасный случай га = 1 нам не встретится (поскольку [п/2\ 2 при га > 3).

Как отгадать оценку?

Для этого нужен навык и немного везения. Вот несколько наводящих соображений.

Аналогия. Рассмотрим для примера соотношение

Г(га) = 2T([ra/2j + 17) + га.

которое отличается от (4.4) добавочным слагаемым 17 в правой части. Можно ожидать, однако, что эта добавка не может существенно изменить характер решения: при больших га разница между [п/2\ + 17 и [п/2\ вряд ли так уж существенна. Можно предположить, что оценка Т(п) = O(ralgra) остаётся в силе, а затем и доказать это по индукции (см. упр. 4.1-5).

Последовательные приближения. Можно начать с простых и грубых оценок, а затем уточнять их. Например, для соотношения (4.1) есть очевидная нижняя оценка Т(п) = Г2(га) (поскольку справа есть член га), и верхняя оценка Т(п) = О (га2) (которую легко доказать по индукции). Далее можно постепенно сближать их, стремясь получить асимптотически точные нижнюю и верхнюю оценки, отличающиеся не более чем в константу раз.

Тонкости

Иногда рассуждение по индукции сталкивается с трудностями, хотя ответ угадан правильно. Обычно это происходит потому, что доказываемое по индукции утверждение недостаточно сильно. В этом случае может помочь вычитание члена меньшего порядка.

Рассмотрим соотношение

r(ra)=r(Lra/2j) + r(rra/2l) + l.

Можно надеяться, что в этом случае Т(п) = О (га). Это действительно так. Попробуем, однако, доказать, что Т(п) era при подходящем выборе константы с. Индуктивное предположение даёт

Г(га) c[ra/2j + с\п/2] + 1 = era + 1,

а отсюда ни для какого с не вытекает неравенства Т(п) era. В такой ситуации можно попытаться доказать более слабую оценку, например О (га2), но на самом деле в этом нет необходимости: наша

догадка верна, надо только не ослабить, а усилить предположение индукции.

Новая гипотеза выглядит так: Т(п) era - Ь для некоторых констант бис. Подстановка в правую часть даёт

Т(га) (с[п/2\ -Ь) + (с\п/2] - Ь) + 1 = сп - 2Ь + 1 era - Ь

Последний переход законен при 61. Остаётся лишь выбрать константу с с учётом начальных условий.

Это рассуждение вызывает недоумение: если доказательство не проходит, не следует ли ослабить (увеличить) оценку, а не усиливать её? Но на самом деле ничего странного здесь нет - усилив оценку, мы получаем возможность воспользоваться более сильным индуктивным предположением.

Как делать не надо

Асимптотическая запись опасна при неумелом применении: вот пример неправильного «доказательства» оценки Т(п) = О (га) для соотношения (4.4). Предположим, что Т(п) era, тогда можно записать

Т(га) 2(с[п/2\) + п сп + п = 0(п).

Это рассуждение, однако, ничего не доказывает, так как индуктивный переход требует, чтобы в правой части было сп с той же самой константой с, а не абстрактное О(п).

Замена переменных

Часто несложная замена переменных позволяет преобразовать рекуррентное соотношение к привычному виду. Например, соотношение

Т(п) = 2Т([ф1\) +1пга

кажется довольно сложным, однако заменой переменных его легко упростить. Сделав замену m = lg га, получим

Г(2т) = 2Г(2т/2) + т.

Обозначив Г(2т) через S(m), приходим к соотношению

S(m) = 2S(m/2) + m,

которое уже встречалось (4.4). Его решение: S(m) = О (га lgra). Возвращаясь к Т(п) вместо S(m), получим

Г(га) = T(2m) = S(m) = O(ralgra) = О (lg га lg lg га).

Приведённое рассуждение требует, конечно, уточнений, поскольку пока что мы доказали оценку на Т(п) лишь для га, являющихся степенями двойки. Чтобы выйти из положения, можно определить S(m) как максимум Т(п) по всем га, не превосходящим 2т.

Упражнения

4.1-1 Покажите, что из Т(п) = Т([~га/2~) + 1 следует, что Т(п) = O(lgra).

4.1-2 Покажите, что из Т(п) = 2Т( га/2 ) + га вытекает Т(п) = fi(ralgra), и тем самым Т(п) = O(ralgra).

4.1-3 Как обойти трудность с начальным значением га = 1 при исследовании соотношения (4.4), изменив доказываемое по индукции утверждение, но не меняя начального значения?

4.1-4 Покажите, что соотношение (4.2) для сортировки слиянием имеет решением O(ralgra).

4.1-5 Покажите, что Т(п) = 2T( ra/2j + 17) + п влечёт Т{п) = О (nig га).

4.1-6 Решите с помощью замены переменных соотношение Т(п) = 2Т(у/га) + 1, (опуская подробности, связанные с тем, что значения переменных - не целые).

4.2. Преобразование в сумму

Как быть, если не удается угадать решение? Тогда можно, итерируя это соотношение (подставляя его само в себя), получить ряд, который можно оценивать тем или иным способом.

Для примера рассмотрим соотношение

Г(га) = 3T([ra/4j) + га.

Подставляя его в себя, получим:

Г(га) = га + 3T([ra/4j) = га + 3([ra/4j + 3T([ra/16j)) = га + 3(Lra/4j + 3(Lra/16j + 3T([ra/64j))) = га + 3[ra/4j + 9[ra/16j + 27T([ra/64j),

Мы воспользовались тем, что, согласно (2.4), Ll ra/4 /4j = [ra/16j и [[ra/16j/4j = [ra/64j. Сколько шагов надо сделать, чтобы дойти до начального условия? Поскольку после г-ой итерации справа окажется Т( га/4г ), мы дойдём до Г(1), когда ra/48J = 1, т.е. когда