|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[109] правила «на каждом шаге выбирать заявку наименьшей длительности, совместную с уже выбранными», а также «на каждом шаге выбирать заявку, совместную с наибольшим количеством остающихся», не годятся. 17.2. Когда применим жадный алгоритм? Как узнать, даст ли жадный алгоритм оптимум применительно к данной задаче? Общих рецептов тут нет, но существуют две особенности, характерные для задач, решаемых жадными алгоритмами. Это принцип жадного выбора и свойство оптимальности для подзадач. Принцип жадного выбора Говорят, что к оптимизационной задаче применим принцип жадного выбора (greedy-choice property), если последовательность локально оптимальных (жадных) выборов дает глобально оптимальное решение. Различие межде жадными алгоритмами и динамическим программированием можно пояснить так: на каждом шаге жадный алгоритм берёт «самый жирный кусок», а потом уже пытается сделать наилучший выбор среди оставшихся, каковы бы они ни были; алгоритм динамического программирования принимает решение, просчитав заранее последствия для всех вариантов. Как доказать, что жадный алгоритм даёт оптимальное решение? Это не всегда тривиально, но в типичном случае такое доказательство следует схеме, использованной в доказательстве теоремы 17.1. Сначала мы доказываем, что жадный выбор на первом шаге не закрывает пути к оптимальному решению: для всякого решения есть другое, согласованное с жадным выбором и не худшее первого. Затем показывается, что подзадача, возникающая после жадного выбора на первом шаге, аналогична исходной, и рассуждение завершается по индукции. Оптимальность для подзадач Говоря иными словами, решаемые с помощью жадных алгоритмов задачи обладают свойством оптимальности для подзадач (have optimal substructure): оптимальное решение всей задачи содержит в себе оптимальные решения подзадач. (С этим свойством мы уже встречались, говоря о динамическом программировании.) Например, при доказательстве теоремы 17.1 мы видели, что если А - оптимальный набор заявок, содержащий заявку номер 1, то А = А\{1} - оптимальный набор заявок для меньшего множества заявок S, состоящего из тех заявок, для которых s4- f\. Жадный алгоритм или динамическое программирование? И жадные алгоритмы, и динамическое программирование основываются на свойстве оптимальности для подзадач, поэтому может возникнуть искушение применить динамическое программирование в ситуации, где хватило бы жадного алгоритма, или, напротив, применить жадный алгоритм к задаче, в которой он не даст оптимума. Мы проиллюстрируем возможные ловушки на примере двух вариантов классической оптимизационной задачи. Дискретная задача о рюкзаке (0-1 knapsack problem) состоит в следующем. Пусть вор пробрался на склад, на котором хранится га вещей. Вещь номер г стоит V{ долларов и весит W{ килограммов (vi и Wi - целые числа). Вор хочет украсть товара на максимальную сумму, причём максимальный вес, который он может унести в рюкзаке, равен W (число W тоже целое). Что он должен положить в рюкзак? Непрерывная задача о рюкзаке (fractional knapsack problem) отличается от дискретной тем, что вор может дробить краденые товары на части и укладывать в рюкзак эти части, а не обязательно вещи целиком (если в дискретной задаче вор имеет дело с золотыми слитками, то в непрерывной - с золотым песком). Обе задачи о рюкзаке обладают свойством оптимальности для подзадач. В самом деле, рассмотрим дискретную задачу. Вынув вещь номер j из оптимально загруженного рюкзака, получим решение задачи о рюкзаке с максимальным весом W - Wj и набором из га - 1 вещи (все вещи, кроме j-й). Аналогичное рассуждение проходит и для непрерывной задачи: вынув из оптимально загруженного рюкзака, в котором лежит w килограммов товара номер j, весь этот товар, получим оптимальное решение непрерывной задачи, в которой максимальный вес равен W - w (вместо W), а количество j-ro товара равно Wj - w (вместо Wj). Хотя две задачи о рюкзаке и похожи, жадный алгоритм даёт оптимум в непрерывной задаче о рюкзаке и не даёт в дискретной. В самом деле, решение непрерывной задачи о рюкзаке с помощью жадного алгоритма выглядит так. Вычислим цены (в расчёте на килограмм) всех товаров (цена товара номер г равна Vi/wi). Сначала вор берёт по максимуму самого дорогого товара; если весь этот товар кончился, а рюкзак не заполнен, вор берёт следующий по цене товар, затем следующий, и так далее, пока не наберёт вес W. Поскольку товары надо предварительно отсортировать по ценам, на что уйдёт время О (га log п), время работы описанного алгоритма будет О (га log га). В упражнении 17.2-1 мы попросим вас доказать, что описанный алгоритм действительно дает оптимум. Рис. 17.2 В дискретной задаче о рюкзаке жадная стратегия может не сработать, (а) Вор должен выбрать две вещи из трёх с тем, чтобы их суммарный вес не превысил 50 кг. (б) Оптимальный выбор - вторая и третья вещи; если положить в рюкзак первую, то выбор оптимальным не будет, хотя именно она дороже всех в расчёте на единицу веса, (в) Для непрерывной задачи о рюкзаке с теми же исходными данными выбор товаров в порядке убывания цены на единицу веса будет оптимален. Чтобы убедиться в том, что аналогичный жадный алгоритм не обязан давать оптимум в дискретной задаче о рюкзаке, взгляните на рис. 17.2а. Грузоподъёмность рюкзака 50 кг, на складе имеются три вещи, весящие 10, 20 и 30 кг и стоящие 60, 100 и 120 долларов соответственно. Цена их в расчёте на единицу веса равна 6, 5 и 4. Жадный алгоритм для начала положит в рюкзак вещь номер 1; однако оптимальное решение включает предметы номер 2 и 3. Для непрерывной задачи с теми же исходными данными жадный алгоритм, предписывающий начать с товара номер 1, даёт оптимальное решение (рис. 17.2в). В дискретной задаче такая стратегия не срабатывает: положив в рюкзак предмет номер 1, вор лишается возможности заполнить рюкзак «под завязку», а пустое место в рюкзаке снижает цену наворованного в расчёте на единицу веса. При решении дискретной задачи о рюкзаке, чтобы решить, класть ли данную вещь в рюкзак, надо сравнить решение подзадачи, возникающей, если данная вещь заведомо лежит в рюкзаке, с подзадачей, возникающей, если этой вещи в рюкзаке заведомо нет. Тем самым дискретная задача о рюкзаке порождает множество перекрывающихся подзадач - типичный признак того, что может пригодиться динамическое программирование. И действительно, к дискретной задаче о рюкзаке оно применимо (см. упражнение 17.2-2). Упражнения 17.2-1 Докажите, что для непрерывной задачи о рюкзаке выполнен принцип жадного выбора. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||