Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[105]

Рис. 16.4 Две триангуляции выпуклого семиугольника. Каждая делит семиугольник на 7 - 2 = 5 треугольников с помощью 7 - 3 = 4 диагоналей.

имеет га сторон vqV\, щщ, , vn-\vn. Здесь vn - то же самое, что vo (удобно нумеровать вершины га-угольника вычетами по модулю га).

Если Vi и Vj - две вершины, не являющиеся соседними, отрезок npvj называется диагональю (chord) многоугольника. Диагональ npvj разбивает многоугольник на два: (иг-, ..., Vj) и (vj, Vj+i,..., Vi). Триангуляция (triangulation) многоугольника - это набор диагоналей, разрезающих многоугольник на треугольники; сторонами этих треугольников являются стороны исходного многоугольника и диагонали триангуляции.

На рис. 16.4 изображены две триангуляции семиугольника. (Триангуляцию можно также определить как максимальное множество диагоналей, не пересекающих друг друга.)

Во всех триангуляциях га-угольника одно и то же число треугольников (сумма всех углов многоугольника равна произведению 180° и числа треугольников в триангуляции), а именно га - 2. При этом используются га -3 диагонали (проводя диагональ, мы увеличиваем число частей на 1).

Задача об оптимальной триангуляции (optimal triangulation problem) состоит в следующем. Дан выпуклый многоугольник Р = (vo, v\,..., vn-\) и весовая функция w, определённая на множестве треугольников с вершинами в вершинах Р. Требуется найти триангуляцию, для которой сумма весов треугольников будет наименьшей.

Естественный пример весовой функции - функция

w(AviVjVk) = \vtv3\ + \vjVk\ + \vkVi\,

где \viVj\ обозначает (евклидово) расстояние между иг- и Vj. Мы построим алгоритм решения этой задачи, который применим для


16-5.3

Рис. 16.5 Деревья разбора, (а) Дерево разбора для ((АДАгАзААбАб))), соответствующее также триангуляции на рис. 16.4а. (б) Соответствие между триангуляцией многоугольника и бинарным деревом. Матрица А, соответствует стороне v,-iv, (г = 1,2,..., 6).

(в) Триангуляция и соответствующая ей расстановка скобок.

любой весовой функции. Триангуляции и расстановки скобок

Существует удивительная связь между триангуляциями многоугольника и расстановками скобок (скажем, в произведении последовательности матриц). Проще всего объяснить эту связь с помощью деревьев.

Полной расстановке скобок соответствует так называемое дерево разбора (parse tree) выражения. На рис. 16.5а изображено дерево разбора для

В его листьях стоят матрицы-сомножители, а в вершинах - их произведения: в каждой вершине стоит произведение двух выражений, стоящих в её детях.

Триангуляцию выпуклого многоугольника (г>о, v±,..., vn-\) также можно изобразить в виде дерева. Листьями его будут стороны многоугольника (кроме vovn-\). Остальные вершины - это диагонали триангуляции плюс сторона vovn-\; эту последнюю объявим корнем.

Построение дерева (на примере триангуляции рис. 16.5а) показано на рис. 16.56. Для начала мы смотрим, в какой треугольник попал корень vovn-\. В нашем случае это Диозб- Детьми корня

(((АзАзЖААб))).


будем считать две другие стороны этого треугольника. Триангуляция состоит из этого треугольника и двух триангуляции оставшихся частей ({vo, v\, v3) и (v3, V4, v$, vq), рис. 16.56), причём диагонали, являющиеся детьми корня, являются сторонами этих многоугольников (Щуйз и V3V6 на рис. 16.56). Повторим для каждой из них ту же конструкцию: рассмотрим треугольник триангуляции нового многоугольника, содержащий выделенную сторону, две другие стороны этого треугольника объявим её детьми и т. д. В конце концов мы придём к бинарному дереву с га - 1 листом. Действуя в обратном порядке, можно по бинарному дереву построить триангуляцию. Построенное соответствие между триангуляциями и бинарными деревьями является взаимно однозначным.

Вспоминая, что полные расстановки скобок в произведении га сомножителей находятся во взаимно однозначном соответствии с бинарными деревьями с га листьями, получаем взаимно однозначное соответствие между полными расстановками скобок в произведении га матриц и триангуляциями (га + 1)-угольника. При этом матрица А{ в произведении А\А2 ... Ап соответствует стороне vTZTvi, а диагональ Vi \Vj (1 г < j га) соответствует произведению

Это соответствие можно понять и без деревьев. Напишем на всех сторонах триангулированного многоугольника, кроме одной, по сомножителю. Далее поступаем так: если в треугольнике две стороны уже помечены, то на третьей мы пишем их произведение. На первоначально непомеченной стороне появится полная расстановка скобок (см. пример на рис. 16.5в).

Заметим, что задача о перемножении матриц является частным случаем задачи об оптимальной триангуляции. Пусть нам нужно вычислить А\А2 .. .Ап, где А{ является Pi-\ X рг-матрицей. Рассмотрим (га + 1)-угольник Р = (vq, v\, ..., vn) и весовую функцию

Тогда стоимость триангуляции будет равна числу умножений при соответствующей расстановке скобок.

Хотя задача о перемножении матриц является лишь частным случаем задачи об оптимальной триангуляции, оказывается, что алгоритм Matrix-Chain-Order из раздела 16.1 легко приспособить для решения задачи о триангуляции. Надо только в его заголовке заменить р на v и строку 9 заменить на такую:

9do q <- m[i, k] + m[k + 1, j] + w(Avi iVkVj)

В результате работы алгоритма m[l,ra] станет равным весу оптимальной триангуляции.

А.

w(AviVjVk) = PtPjPk-



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53] [стр.54] [стр.55] [стр.56] [стр.57] [стр.58] [стр.59] [стр.60] [стр.61] [стр.62] [стр.63] [стр.64] [стр.65] [стр.66] [стр.67] [стр.68] [стр.69] [стр.70] [стр.71] [стр.72] [стр.73] [стр.74] [стр.75] [стр.76] [стр.77] [стр.78] [стр.79] [стр.80] [стр.81] [стр.82] [стр.83] [стр.84] [стр.85] [стр.86] [стр.87] [стр.88] [стр.89] [стр.90] [стр.91] [стр.92] [стр.93] [стр.94] [стр.95] [стр.96] [стр.97] [стр.98] [стр.99] [стр.100] [стр.101] [стр.102] [стр.103] [стр.104] [стр.105] [стр.106] [стр.107] [стр.108] [стр.109] [стр.110] [стр.111] [стр.112] [стр.113] [стр.114] [стр.115] [стр.116] [стр.117] [стр.118] [стр.119] [стр.120] [стр.121] [стр.122] [стр.123] [стр.124] [стр.125] [стр.126] [стр.127] [стр.128] [стр.129] [стр.130] [стр.131] [стр.132] [стр.133] [стр.134] [стр.135] [стр.136] [стр.137] [стр.138] [стр.139] [стр.140] [стр.141] [стр.142] [стр.143] [стр.144] [стр.145] [стр.146] [стр.147] [стр.148] [стр.149] [стр.150] [стр.151] [стр.152] [стр.153] [стр.154] [стр.155] [стр.156] [стр.157] [стр.158] [стр.159] [стр.160] [стр.161] [стр.162] [стр.163] [стр.164] [стр.165] [стр.166] [стр.167] [стр.168] [стр.169] [стр.170] [стр.171] [стр.172] [стр.173] [стр.174] [стр.175] [стр.176] [стр.177] [стр.178] [стр.179] [стр.180] [стр.181] [стр.182] [стр.183] [стр.184] [стр.185] [стр.186] [стр.187] [стр.188] [стр.189] [стр.190] [стр.191] [стр.192] [стр.193] [стр.194] [стр.195] [стр.196] [стр.197] [стр.198] [стр.199] [стр.200] [стр.201] [стр.202] [стр.203] [стр.204] [стр.205] [стр.206] [стр.207] [стр.208] [стр.209] [стр.210] [стр.211] [стр.212] [стр.213] [стр.214] [стр.215] [стр.216] [стр.217] [стр.218] [стр.219] [стр.220] [стр.221] [стр.222] [стр.223] [стр.224] [стр.225] [стр.226] [стр.227] [стр.228] [стр.229] [стр.230] [стр.231] [стр.232] [стр.233] [стр.234] [стр.235] [стр.236] [стр.237] [стр.238] [стр.239] [стр.240] [стр.241] [стр.242] [стр.243] [стр.244] [стр.245] [стр.246] [стр.247] [стр.248] [стр.249] [стр.250] [стр.251] [стр.252] [стр.253] [стр.254] [стр.255] [стр.256] [стр.257] [стр.258] [стр.259] [стр.260] [стр.261] [стр.262] [стр.263] [стр.264] [стр.265] [стр.266] [стр.267] [стр.268] [стр.269] [стр.270] [стр.271] [стр.272] [стр.273] [стр.274] [стр.275] [стр.276] [стр.277] [стр.278] [стр.279] [стр.280] [стр.281] [стр.282] [стр.283] [стр.284] [стр.285] [стр.286] [стр.287] [стр.288] [стр.289] [стр.290] [стр.291] [стр.292] [стр.293] [стр.294]