|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[9] переноса - описывается как сумма двух векторов. В случае последовательного выполнения любой комбинации операций вращения и масштабирования результат легко можно записать в виде произведения матриц соответствующих преобразований. Это будет матрица результирующего поворота и масштабирования. Очевидно, что удобнее применять результирующую матрицу вместо того, чтобы каждый раз заново вычислять произведение матриц. Однако, таким способом нельзя получить результирующую матрицу преобразования, если среди последовательности преобразований присутствует хотя бы один перенос. Матричное произведение в компьютерной графике также называют композицией. Было бы удобнее иметь математический аппарат, позволяющий включать в композиции преобразований все три выше указанные операции. При этом получился бы значительный выигрыш в скорости вычислений. Однородные координаты и есть этот математический аппарат. Двумерный вектор (x, y) в однородных координатах записывается в виде (wx, wy, w), где w ф 0. Число w называется масштабным множителем. Для того, чтобы из вектора, записанного в однородных координатах получить вектор в обычных координатах необходимо разделить первые две координаты на третью: (wx / w, wy / w, w / w) - (x, y,l). В общем случае осуществляется переход от «-мерного пространства к (n + 1)-мерному. Это преобразование не единственное. Обратное преобразование называется проекцией однородных координат . Рассмотрим некоторые свойства однородных координат. Некоторые точки, неопределенные в n-мерном пространстве, становятся вполне определенными при переходе к однородным координатам. Например, однородный вектор (0,0,1,0) в трехмерном пространстве соответствует бесконечно удаленной точке z = оо. Поскольку в однородных координатах эту точку можно представить в виде (0,0,1, s), при s - 0, то в трехмерном пространстве это соответствует точке (0,0,1/ s). Рассмотрим точку трехмерного пространства (a, b, c). Если представить эту точку как однородное представление точки двумерного пространства, то ее координаты будут (a / c, b / c). Сравнивая эти координаты со вторым видом формул, выведенных для центральной перспективной проекции, легко Более строгое определение однородных координат дается в разделе линейной алгебры «Проективные пространства». заметить, что двумерное представление точки с координатами (a, b, c) выглядит как ее проекция на плоскость z = 1, как показано на рис. 25. (а.Ь.О Рис. 25. Проекция точки (a, b, c) на плоскость z = 1. Аналогично, рассматривая применение однородных координат для векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость w = 1, если (x, y, z) (wx, wy, wz, w) = (x, y, z,1). В однородных координатах преобразование центральной перспективы можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:
Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта, заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также в однородных координатах). Пусть p = (x, y, z) - точка в трехмерном пространстве. Ее однородное представление v = (wx, wy, wz, w). Умножим v на P: v P = [wkx, wky,0, w(z + k)] = [kx / (z + k), ky / (z + k ),0,1] - это в точности повторяет формулы (1), выведенные для центральной перспективы. Теперь точки двумерного пространства будут описываться трехэлементными вектор-строками, поэтому и матрицы преобразований, на которые будет умножаться вектор точки, будут иметь размеры 3x3. Запишем матричное преобразование операции переноса для однородных координат: 1 0 0~ х, y,1]=[x, y,1]- 0 1 или p = p T(Dx, Dy), где T(Dx, Dy ) =
При последовательном переносе точки p в точку p и затем в точку p компоненты суммарного вектора переноса являются суммами соответствующих компонент последовательных векторов переноса. Рассмотрим, каковы будут элементы матрицы суммарного переноса. Пусть p = p T (dx , Dy), p = p T (d x, Dy). Подставив первое уравнение во второе получаем p = p T (dx , Dy ) T (d x, Dy). Матричное произведение т. е. суммарный перенос равен произведению соответствующих матриц переноса. 1 0 Dx 0 1 D 01Г 1 0 Dx 0 1 01 0 1 Dx 1 0 + D\ 0 1 Запишем матричный вид операции масштабирования. xy ,1 =[x, y,1] Sx 0 0 0 Sy 0 01 0 1
Так же, как последовательные переносы являются аддитивными, покажем, что последовательные масштабирования будут мультипликативными. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||