Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[9]

переноса - описывается как сумма двух векторов. В случае последовательного выполнения любой комбинации операций вращения и масштабирования результат легко можно записать в виде произведения матриц соответствующих преобразований. Это будет матрица результирующего поворота и масштабирования. Очевидно, что удобнее применять результирующую матрицу вместо того, чтобы каждый раз заново вычислять произведение матриц. Однако, таким способом нельзя получить результирующую матрицу преобразования, если среди последовательности преобразований присутствует хотя бы один перенос. Матричное произведение в компьютерной графике также называют композицией. Было бы удобнее иметь математический аппарат, позволяющий включать в композиции преобразований все три выше указанные операции. При этом получился бы значительный выигрыш в скорости вычислений. Однородные координаты и есть этот математический аппарат.

Двумерный вектор (x, y) в однородных координатах записывается в

виде (wx, wy, w), где w ф 0. Число w называется масштабным множителем.

Для того, чтобы из вектора, записанного в однородных координатах получить вектор в обычных координатах необходимо разделить первые две координаты на третью: (wx / w, wy / w, w / w) - (x, y,l).

В общем случае осуществляется переход от «-мерного пространства к (n + 1)-мерному. Это преобразование не единственное. Обратное преобразование называется проекцией однородных координат .

Рассмотрим некоторые свойства однородных координат. Некоторые точки, неопределенные в n-мерном пространстве, становятся вполне определенными при переходе к однородным координатам. Например, однородный вектор (0,0,1,0) в трехмерном пространстве соответствует бесконечно удаленной точке z = оо. Поскольку в однородных координатах эту точку можно представить в виде (0,0,1, s), при s - 0, то в трехмерном пространстве это соответствует точке (0,0,1/ s).

Рассмотрим точку трехмерного пространства (a, b, c). Если представить эту точку как однородное представление точки двумерного пространства, то ее координаты будут (a / c, b / c). Сравнивая эти координаты со вторым видом формул, выведенных для центральной перспективной проекции, легко

Более строгое определение однородных координат дается в разделе линейной алгебры «Проективные пространства».


заметить, что двумерное представление точки с координатами (a, b, c) выглядит как ее проекция на плоскость z = 1, как показано на рис. 25.

(а.Ь.О

Рис. 25. Проекция точки (a, b, c) на плоскость z = 1.

Аналогично, рассматривая применение однородных координат для векторов трехмерного пространства, можно представить трехмерное пространство как проекцию четырехмерного пространства на гиперплоскость w = 1, если (x, y, z) (wx, wy, wz, w) = (x, y, z,1).

В однородных координатах преобразование центральной перспективы можно определить матричной операцией. Эта матрица записывается в виде:

~k

0

0

0"

0

k

0

0

0

0

0

1

0

0

0

k

Покажем, что эта матрица определяет преобразование точки объекта, заданной в однородных координатах, в точку перспективной проекции (также в однородных координатах). Пусть p = (x, y, z) - точка в трехмерном

пространстве. Ее однородное представление v = (wx, wy, wz, w). Умножим v

на P:

v P = [wkx, wky,0, w(z + k)] = [kx / (z + k), ky / (z + k ),0,1]

- это в точности повторяет формулы (1), выведенные для центральной перспективы.


Теперь точки двумерного пространства будут описываться трехэлементными вектор-строками, поэтому и матрицы преобразований, на которые будет умножаться вектор точки, будут иметь размеры 3x3. Запишем матричное преобразование операции переноса для однородных координат:

1 0 0~

х, y,1]=[x, y,1]-

0

1

или

p = p T(Dx, Dy), где T(Dx, Dy ) =

1

0

0

0

1

0

Dx

Dy

1

При последовательном переносе точки p в точку p и затем в точку p

компоненты суммарного вектора переноса являются суммами соответствующих компонент последовательных векторов переноса. Рассмотрим, каковы будут элементы матрицы суммарного переноса. Пусть

p = p T (dx , Dy), p = p T (d x, Dy). Подставив первое уравнение во

второе получаем p = p T (dx , Dy ) T (d x, Dy). Матричное произведение

т. е. суммарный перенос равен произведению соответствующих матриц переноса.

1 0

Dx

0 1

D

01Г 1

0

Dx

0 1

01

0 1

Dx

1 0

+ D\

0 1

Запишем матричный вид операции масштабирования.

xy ,1 =[x, y,1]

Sx

0 0

0

Sy 0

01

0 1

0

01

Определим матрицу масштабирования S (Sx, Sy) =

0

Sy

0

0

0

1

Так же, как последовательные переносы являются аддитивными, покажем, что последовательные масштабирования будут мультипликативными.



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19]