Отметим, определенную двойственность впечатлений, возникающих при взаимных перемещениях систем координат друг относительно друга. Представим себе, что мы наблюдаем кубик в пространстве. Пусть теперь этот кубик начнет вращаться вокруг, например, вертикальной оси. Мы увидим, что кубик вращается. Но тот же самый эффект мы получим, если сами начнем облетать вокруг кубика и рассматривать его с разных сторон. Визуальный эффект остается тем же самым, хотя в первом случае наша система координат остается неподвижной, а во втором - вращается по орбите. Этот эффект можно использовать при выводе формул движения в пространстве.

Двумерные матричные преобразования

Рассмотрим преобразования координат точек на плоскости. На рис. 22 точка A перенесена в точку B.

1 2 3 4 5**

Рис. 22. Операция переноса или трансляции точки A в точку B .

Математически этот перенос можно описать с помощью вектора

переноса AB. Пусть R радиус вектор, соответствующий вектору переноса

AB . Тогда переход из точки A в точку B будет соответствовать векторной

записи B = A + R. Отсюда получаем, что для переноса точки в новое положение необходимо добавить к ее координатам некоторые числа, которые представляют собой координаты вектора переноса:

B = A + R = [AX + Rx, Ay + Ry, Az + Rz ]

Масштабированием объектов называется растяжение объектов вдоль соответствующих осей координат относительно начала координат. Эта

операция применяется к каждой точке объекта, поэтому можно также говорить о масштабировании точки. При этом, конечно, речь не идет об изменении размеров самой точки. Масштабирование достигается умножением координат точек на некоторые константы. В том случае, когда эти константы равны между собой, масштабирование называется однородным. На рис.23 приведен пример однородного масштабирования треугольника ABC.

у*

123456789 10x

Рис. 23. Операция масштабирования .

После применения операции однородного масштабирования с

!!!

коэффициентом 2 он переходит в треугольник ABC. Обозначим матрицу

Sx 0

Для точек A и A операция

масштабирования

S

x

0S

y

масштабирования в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

~Sx 0

[x, y]=[x, y

x

0S

У

Рассмотрим далее операцию вращения точки на некоторый угол относительно начала координат. На рисунке 24 точка A = (x, y) переходит в

точку B = (x , y ) поворотом на угол а.

Рис. 24. Операция поворота точки A на угол а.

Найдем преобразование координат точки А в точку В. Обозначим в

угол, который составляет радиус-вектор A с осью Оx. Пусть r - длина

радиус-вектора A, тогда

x = r • Cos(a + в) = r(Cosa • Cose - Sina • Sine) y = r • Sin(a + в) = r (Sina • Cose + Cosa • Sine)

Так как Cose = x/r и Sine = , то подставляя эти выражения в уравнения для x и y , получаем:

x = x • Cosa - y • Sina

y = x • Sina + y • Cosa

В матричном виде вращение точки А на угол a выглядит следующим образом:

Cosa Sinai

x , y

= [x, У

- Sina Cosa]

Однородные координаты и матричное представление двумерных преобразований

В предыдущем параграфе были рассмотрены три вида преобразований точек на плоскости. Два из них - операции вращения и масштабирования -описываются в виде произведения матрицы на вектор, а третья - операция