Рис. 11. Точка q вне треугольника.

Условием принадлежности точки внутренней области треугольника будет несовпадение знаков x - координат оставшихся двух вершин после каждого из трех поворотов.

Рис. 1-. Точка q внутри треугольника.

Нахождение точки на одной из сторон треугольника легко определяется по несовпадению знаков y -координат двух вершин которые

после одного из поворотов оказались лежащими на оси Oy. Этот метод эффективен когда больше вероятность что точка лежит вне треугольника. Отрицательной его чертой является необходимость вычисления синусов и косинусов углов при повороте системы координат.

Третий из приводимых здесь методов представляется наиболее компактным и скоростным с вычислительной точки зрения. Этот метод был предложен автору Д. Чистяковым в 1999 году. Заметим, что очень просто можно определить принадлежность точки внутренней области треугольника -единичного симплекса, то есть треугольника, образованного точками с координатами P = (0,0), Q = (1,0), R = (0,1). Для этого достаточно чтобы

координаты искомой точки имели значения в отрезке (0,1) и выполнялось условие x + y < 1, где x и y - координаты точки. Заметим также, что с

помощью аффинных преобразований на плоскости или непрерывных деформаций любой треугольник можно преобразовать к единичному

Рис. 13. Приведение произвольного треугольника к единичному

После таких преобразований внутренняя и внешняя области треугольника остаются таковыми. Применив такое преобразование к искомой точке, достаточно затем будет определить ее нахождение во внутренней или внешней области симплекса. Найдем такое преобразование. Координаты

векторов единичного базиса совпадают с координатами точек Q и R симплекса, соответственно. Будем считать что точка C треугольника

совпадает с началом координат. Этого всегда можно добиться параллельным

переносом треугольника на вектор - C. При этом координаты точек A и B

треугольника суть коэффициенты разложения соответствующих векторов A и B по единичному базису. Матрица перехода M от единичного базиса к

базису на векторах A и B составлена из координат этих векторов.

симплексу.

симплексу.

M

Г Ax

Bx

Ay By

Значит для обратного перехода к единичному базису, (на векторах которого построен симплекс), необходимо найти обратную матрицу:

M ~1 =

1

AxBy - AyBx l- Bx Ax J

A

y

r-1

Умножение радиус-вектора искомой точки на матрицу M дает точку которую достаточно проверить на попадание во внутреннюю или внешнюю область единичного симплекса, как было указано выше.

Проецирование трехмерных объектов

Рассмотрим проблему показа трехмерных изображений на двумерной плоскости. Для этого необходимо иметь определенные математические модели. В этих моделях должны учитываться различные факторы, влияющие на визуальное восприятие человеком реальных образов. Способ перехода от трехмерных объектов к их изображениям на плоскости будем называть проекцией. Далее рассматриваются различные виды проекций.

Для того, чтобы увидеть на плоскости монитора трехмерное изображение нужно уметь задать способ отображения трехмерных точек в двумерные. Сделать это можно, вообще говоря, по-разному. В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью n в точки системы координат размерностью меньшей, чем n. В нашем случае точки трехмерного пространства преобразуются в точки двумерного пространства. Проекции строятся с помощью проецирующих лучей или проекторов, которые выходят из точки, которая называется центром проекции. Проекторы проходят через плоскость, которая называется проекционной или картинной плоскостью и затем проходят через каждую точку трехмерного объекта и образуют тем самым проекцию. Тип проецирования на плоскую, а не искривленную поверхность, где в качестве проекторов используются прямые. а не искривленные линии, называется плоской геометрической проекцией. Плоские геометрические проекции делятся на два вида: центральные и параллельные. Если центр проекции находится на конечном расстоянии от проекционной плоскости, то проекция - центральная. Если же центр проекции удален на бесконечность, то проекция - параллельная.