Рис. 8. Направляющие косинусы.

Отсюда, очевидно, вытекают следующие свойства направляющих косинусов:

Cos 2ax + Cos 2ay + Cos 2az = 1.

Направляющие косинусы пропорциональны соответствующим координатам:

Cosax: Cosay: Cosaz = P1 : P2: P3 ,

а в случае, когда вектор p нормирован, значения его координат равны

соответствующим направляющим косинусам.

Рассмотрим далее функциональное представление плоскости. Для этого в уравнении (5) перенесем константу из правой части в левую и запишем функцию трех переменных f (x, y, z) = Ax + By + Cz - c. Если подставить

координаты точки, принадлежащей данной плоскости в это уравнение, то f (x, y, z) = 0. Если же точка не принадлежит плоскости, то значение функции,

очевидно, будет больше или меньше нуля. Интересен тот факт, что для точек, лежащих по одну и ту же сторону от плоскости функция f (x, y, z) имеет

всегда один и тот же знак. С помощью чертежа на рисунке 9 , легко показать, что для точек лежащих в полупространстве, порождаемом плоскостью и содержащем начало координат, функция f(x, y, z) отрицательна, а для точек

лежащих в другом полупространстве, как, например, для точки a на рисунке, она положительна. В общем же случае необходимо учитывать направление вектора нормали.

z

Рис. 9. Функциональное представление плоскости.

Свойство сохранения знака функции f (x, y, z) удобно использовать в

алгоритмах удаления невидимых ребер и граней для определения того лежат ли точки по одну сторону от плоской грани или нет. Для этого достаточно лишь подставить значения координат точек в функциональное представление плоскости, определяемой соответствующей гранью и проверить совпадают знаки функции или нет. Аналогичные рассуждения можно проделать и для более простого случая прямой на плоскости. Тогда для любой точки на плоскости можно определить ее нахождение в одной их полуплоскостей на которые прямая делит плоскость. Это свойство используется в следующем примере.

Рассмотрим далее три метода решения классической задачи определения принадлежности точки внутренней или граничной области треугольника. Эта задача имеет, конечно же, много решений, некоторые из которых может придумать и сам читатель. Пусть на плоскости xOy заданы

три точки A = (Ax, Ay), B = (Bx, By) и C = (Cx, Cy), образующие треугольник (рис. 10).

Рис. 10. Внутренняя область треугольника соответствует отрицательным направлениям векторов нормалей.

Через каждую пару вершин треугольника можно провести прямую. Замкнутая область пересечения трех полуплоскостей, образованных этими прямыми есть внутренняя область треугольника. Пользуясь вектором нормали n = (L,M) можно записать уравнение прямой на плоскости: Lx + My + N = 0 . Идея первого метода состоит в том, чтобы записать функциональные представления уравнений прямых, образующих стороны треугольника, таким образом, чтобы внутренняя область треугольника соответствовала, например, отрицательным значениям. Тогда условием принадлежности внутренней области треугольника будут отрицательные значения трех функциональных уравнений прямых при подстановке координат проверяемой точки. Основной проблемой в этом методе является правильный выбор направления вектора нормали к прямой.

Следующий метод основан на преобразовании треугольника с помощью операции переноса таким образом чтобы проверяемая точка совпала с началом координат. Поворотом плоскости вокруг начала координат расположим одну (любую) из вершин треугольника на оси Oy . Тогда если

знаки координат x оставшихся двух точек совпадают, то искомая точка лежит вне треугольника. Если же знаки различны, то берем следующую из оставшихся вершин треугольника и поворотом плоскости устанавливаем ее на ось Oy . После чего вновь проверяем знаки координат x двух других вершин, и т.д.