нормали. Пусть заданы фиксированные векторы p,q и r, не лежащие на

одной прямой, определяющие плоскость, уравнение которой требуется получить (рис. 6).

Рис. 6. Вывод уравнения плоскости проходящей через три точки.

Результат векторного произведения любых двух неколлинеарных векторов, параллельных нашей плоскости, будет вектором перпендикулярным плоскости. И как раз такими являются векторы разности (p - q) и (p-r). Выберем их векторное произведение в качестве вектора

нормали, то есть n = (p - q)х(p - r). Тогда, если x - произвольный радиус-вектор, принадлежащий плоскости, то искомым уравнением плоскости будет, аналогично формуле (4):

причем в последней скобке вместо вектора q можно было использовать, например, векторы p или r. Не будем далее расписывать это уравнение через координаты, так как это не трудно проделать самостоятельно.

Рассмотрим еще несколько определений и типичных задач, решение

[(p - q )х( p - r )]•( x - q )= 0,

которых не должно вызывать замешательств.

Иногда бывает необходимо вычислить длину проекции радиус-вектора не на ось системы координат, а на другой радиус-вектор. Найдем длину проекции вектора a на вектор b. Эта ситуация изображена на рис.7, из которого, очевидно, следует и решение задачи.

Рис. 7. Проекция вектора a на вектор b .

Искомая длина проекции: p = \a\Cosa=lal=a b.

rib \b\

Как видно, если длина вектора, на который проецируется другой вектор, равна единице, то длина проекции будет просто равна скалярному произведению этих векторов.

С помощью формулы длины проекции вектора на вектор можно еще одним способом получить уравнение плоскости, если заметить, что длины проекций радиус-векторов, принадлежащих плоскости, на вектор нормали к плоскости всегда равны между собой.

Решим задачу нахождения минимального расстояния от начала координат до плоскости. Очевидно, что это расстояние необходимо откладывать вдоль прямой, определяемой вектором нормали к плоскости. Но для нахождения этого расстояния надо найти сначала точку пересечения прямой с плоскостью. Поэтому решим в общем виде задачу нахождения точки пересечения прямой и плоскости. Пусть искомая точка, или соответствующий радиус-вектор называется x. Тогда эта точка должна одновременно удовлетворять уравнениям прямой и плоскости, например,

x = p1 + jp и nx = c . Подставив x из первого уравнения во второе, найдем

значение константы ц, которое затем подставим в исходное уравнение прямой для получения координат искомой точки:

n(p1 + цр* )= c np1 + цпр

= c ц =

с

пр1

*

пр

Уравнение прямой вдоль вектора нормали к плоскости запишем как x = ц- р *. Перед тем как подставить в это уравнение выражение для ц, заметим, что для нашей прямой, базовый вектор р1 равен нулю, а

направляющий вектор совпадает с вектором нормали р = п . Учитывая это, запишем:

cc

x =--п = -- - п

п - п „2

Отсюда искомое расстояние от начала координат до плоскости равно

I I c \п\

В том случае когда вектор нормали п является нормированным, константа c в уравнении плоскости равна расстоянию от начала координат до данной плоскости.

Кроме определения положения точек в пространстве радиус-векторы также определяют некоторое направление в пространстве. Направление, определяемое радиус-вектором, удобно описывать с помощью, так называемых, направляющих косинусов. Пусть радиус-вектор р = (p1, p 2, p 3) составляет с осями координат Ox, Oy и Oz углы, соответственно, ax,ay и az (рисунок 8). Тогда его направляющими косинусами будут:

Cosa = pr, Cosay = Р2, Cosaz = -py PpP