Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[2]

радиус-вектора p *. Преобразуем это уравнение к виду в котором используются только координаты двух исходных векторов p1 и p2:

Из этого векторного равенства получаем три равенства для соответствующих координат:

x x1 - jnx 2 x1)

. z - z1 =j(z2 - z1 )

Попарно разделив эти уравнения друг на друга для того чтобы избавится от коэффициента /л, получаем следующую систему уравнений,

определяющую нашу прямую в трехмерном пространстве:

(x - x1 )(y2 - y1 )=(x2 - x1 xy - y1 ) (z - z1- x1 )=(z 2 - z1 )x - x1 )

В практических задачах иногда бывает нужно узнать лежит ли некоторая точка, принадлежащая прямой, внутри отрезка, заданного координатами своих концов на данной прямой, или снаружи. Для решения этой задачи перепишем уравнение (1) в следующем виде:

При л е [0,1] получаем точки прямой, лежащие между p1 и p2. При Л < 0 - точки лежащие на прямой за p1, при л > 1 - точки, лежащие на прямой за p2 . Для проверки этого просто подставьте в уравнение вместо j значения 0 и 1.

Перейдем теперь к выводу уравнения плоскости. Мы сможем получить его тремя путями. Но прежде напомним определение скалярного произведения. Для двух радиус-векторов p ид скалярным произведением

назовем число p q = \p\q\Cosa, где а - угол между векторами p и q. Для

векторов запись вида pq или (p,q) также будем считать скалярным


произведением. Скалярное произведение можно выразить через координаты векторов:

так как при раскрытии скобок скалярные произведения перпендикулярных

векторов базиса по определению обращаются в ноль.

Используем свойства скалярного произведения для вывода уравнения

плоскости. Рассмотрим некоторую плоскость в пространстве и некоторую точку a, про которую мы знаем, что она лежит в этой плоскости, как показано на рисунке 5.

Рис. 5. Вывод уравнения плоскости в трехмерном пространстве.

Возьмем также некоторый радиус-вектор n, перпендикулярный нашей плоскости. Этот вектор назовем нормалью к плоскости. Пусть теперь требуется определить принадлежит ли некоторая точка (или радиус-вектор) p плоскости или нет. Для этого заметим, что для любой точки p,

принадлежащей плоскости, вектор (p - a) и радиус-вектор нормали n -

перпендикулярны. А это значит, что их скалярное произведение равно нулю:

3

n(p - a) = 0

(4)


Так мы уже получили уравнение плоскости. Раскроем скобки и запишем его в более удобном виде: np = c, где константа c = na. Если n = (A,B,C), а p = (x,y,z), то в координатной записи наше уравнение плоскости запишется в виде

Ax + By + Cz = c(5)

Известно что плоскость может быть задана тремя точками, лишь бы они не лежали на одной прямой, то есть если они не коллинеарны. Получим уравнение плоскости для трех заданных точек. Для этого рассмотрим определение векторного произведения. Результатом векторного произведения двух векторов p х q является вектор r, модуль которого равен

p х q = pqSin а, и направлен он перпендикулярно плоскости в которой

лежат векторы p и q, причем векторы p,q,r - образуют правую тройку

векторов (см. определение правой системы координат), здесь a также угол между векторами p и q . Для векторов единичного базиса, образующих

правую тройку, как следует из определения: i х j = k, j х k = i, k х i = j. Векторное произведение также подчиняется дистрибутивному закону как и скалярное произведение. Однако векторное произведение не коммутативно, а именно, если для векторов u х v = w, то v х u = - w, что также прямо следует из определения. Координаты векторного произведения легко получить разложив векторы, участвующие в произведении, по базису, а затем раскрыв скобки, подобно тому как это уже было проделано для скалярного произведения. Есть и другой, неформальный, но легче запоминаемый способ получения координат векторного произведения, с помощью разложения следующего определителя по его первой строке. Если p = (p1, p2, p3) и

q = (q1, q2, 3 ) тогда

i

j

k

p х q =

Ч2

q3

Сведем теперь условия в новой постановке задачи нахождения уравнения плоскости к предыдущему случаю, где мы использовали вектор



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19]