Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[1]

осей в ортогональной системе координат в трехмерном пространстве может быть двух видов. Проведем ось Ox слева направо, а ось Oy снизу вверх, как

Ось Oz при этом может проходить как в направлении от наблюдателя в плоскость листа, так и от плоскости листа к наблюдателю. В первом случае система координат будет называться левой или левосторонней, а во втором случае - правой или правосторонней. Более точное определение правой и левой систем координат можно дать следующее. Если посмотреть из положительной полуоси Oz в направлении начала координат, то для совмещения положительной полуоси Ox с положительной полуосью Oy

необходимо повернуть Ox относительно начала координат против часовой стрелки - в этом случае имеем правую систему координат; если же поворот производится по часовой стрелке - то система координат левая . Существует также легкий способ определения вида системы координат по правой или левой руке, как показано на рис. 3. Для левой руки большой, указательный и средний пальцы формируют левую тройку ортогональных векторов. То же относится и к их циклическим перестановкам.

В этом определении при замене, скажем, оси Oz на ось Ox остальные оси заменяются по

правилу циклической перестановки, то есть Oy заменится на Oz, а Ox заменится на Oy. Всего циклических перестановок может быть три: (x,y,z)-(y,z,x)-(z,x,y).

показано на рис. 2.

Рис.2. Левосторонняя и правосторонняя системы координат.


Декартовы координаты точек позволяют описывать статичное положение объектов в пространстве. Однако для проведения каких-либо действий над объектами необходимо иметь дополнительные математические конструкции. В качестве одной из таких конструкций применяют радиус-векторы. Радиус-векторы обладают всеми свойствами векторов, но имеют одну особенность: начало радиус-вектора находится всегда в начале координат, а конец радиус-вектора лежит в некоторой точке пространства. Это свойство радиус-векторов позволяет поставить во взаимно однозначное соответствие всем точкам пространства соответствующие им радиус-векторы. Формально это соответствие запишем в следующем виде. Пусть точка P имеет координаты (x, y, z), то есть P = (x, y, z), и p = xi + yj + zk - радиус-вектор, конец которого находится в точке P, где i,j,k - тройка единичных базисных векторов, или просто нормированный базис. Тогда точке P взаимно однозначносоответствуетрадиус-векторp,или

P = (x, y, z) <> xi + yj + zk = p . Таким образом, можно легко переходить от

координат точек к радиус-векторам и обратно. Далее мы увидим что представление радиус-вектора в виде линейной комбинации векторов базиса имеет вполне конкретное практическое применение. Отметим, что радиус-вектор иногда определяют как преобразование переноса точки из начала координат в заданную точку пространства с известными координатами. При


этом умножение радиус-вектора p на число a означает перенос точки из начала координат в направлении вектора p на расстояние ap, где прямые скобки означают операцию взятия модуля вектора:

p = yjx1 + y1 + Z2 .

Сложение радиус-векторов p + q можно рассматривать как перенос точки P по направлению вектора q на расстояние q.

Рассмотрим теперь каким образом можно использовать координаты точек и радиус-векторы для описания прямых и плоскостей в трехмерном пространстве. Под описанием прямой понимаем знание того принадлежит ли точка с заданными координатами нашей прямой или нет. То есть нужно получить некую математическую зависимость или уравнение прямой. Мы получим уравнение прямой двумя способами.

Во-первых, известно, что две различные точки определяют в пространстве прямую. Выберем в пространстве две точки P1 = ((, y1, z1 )<> p1 и P2 = (x2, y2, z 2) <> p2 и проведем через них прямую, как показано на рис 4.

Z

Рис. 4. Вывод уравнения прямой в трехмерном пространстве.

Проведем от точки р к точке P2 вектор p = p2 - p1. Тогда радиус-вектор p, определяющий некоторую точку на прямой, можно получить сложением, например, вектора p1 и вектора p* , умноженного на некоторое число л. Или p = p(fj) = p1 + fjp *. Фактически мы уже получили уравнение прямой, но не через координаты двух точек на прямой, а другим способом, с помощью, так называемых, базового радиус-вектора p1 и направляющего



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19]