имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.

На рис. 3 представлены примеры сжимающего и разжимающего в точке x отрицаний. Элементы L представлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности, y < x. Для обоих примеров отрицаний R(x) = 4. Элементы y порождаются элементами x так, что y= n(x) для рис. 3а) и y = n (x) для рис. 3б).

УУ

а)б)

Рис. 3. а) Отрицание n - сжимающее в точке x.

б) Отрицание n - разжимающее в точке x.

Если ввести индекс нечеткости d(x) элементов из L как d(x)= xAn(x), то несложно увидеть, что имеет место d(x) < d(n(x)) для сжимающих отрицаний и d(x) > d(n(x)) для разжимающих отрицаний. Для инволюций нечеткость элемента и его отрицания совпадают. Следовательно, если из контекста ясно, что операция отрицания изменяет нечеткость формулы (высказывания), то тогда, в зависимости от характера этого изменения, нужно использовать сжимающие или разжимающие отрицания.

1.3. Примеры

Рассмотрим простейшие примеры отрицаний, иллюстрирующие введенные понятия. Во всех примерах, если не оговорено противное, предполагается, что L содержит элементы, отличные от 0 и I.

Пусть n - отрицание на L, L2 = {0,1}, L3 = {0, c, I}, где 0 < c < I, и n2, n3 - отрицания на L2 и L3, соответственно, причем c - фиксированная точка отрицания n3, т.е. n3(c)= c. Связь между простейшими отрицаниями n на L и отрицаниями n2, n3 на L2 и L3 может быть задана с помощью морфизмов (k:LLk таких, что (k(n(x))=nk((k(x)), (k=2,3). При интерпретации 0, I и c как "ложь", "истина" и "неопределенность", соответствующие морфизмы определяют интерпретацию элементов из L.

Пример 1.14. Пусть L линейно, и c - некоторый элемент из L.

I, если x = 0 n(x)=\ c, если x <£ {0, I} . 0, если x= I

При c£{0, I} это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной точкой s = c, R(n) =2. ф3(0)=0, (3(I)=I, (3(x)=c, если x£{0, I}. Интерпретация: «Все, что не истина и не ложь является неопределенностью»

Пример 1.15. При c = I, отрицание из примера 1.14 станет таким:

ГI, если x ф I

n(x)=10т .

10, если x = I

Это отрицание является обычным, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной точки, R(n) =3, на L выполняется: x v n(x)= I. (2(I)=I, (2(x)=0, если x < I. "Все, что не истина, есть ложь".

Пример 1.16. При c = 0, из отрицания примера 1.14 получим:

17, если x = 0 n(x)=.

[0, если x ф 0

Это отрицание является слабым, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной точки, R(n) =3. На L выполняется: x л n(x) = 0.ф2(0)=0, (2(x)=I, если x > 0. Все, что не ложь, есть истина".

Пример 1.17. Примером разжимающего отрицания, которое не является ни обычным, ни слабым является отрицание

17, если x< c

[0, в противном случае

где c£{0, I}. Фиксированная точка отсутствует, R(n) =3. (2(x)=0, если x < c,(2(x)=I, если с <x. "Все или истина, или ложь". Некоторые подходы к формализации нечеткой логики, основанные на подобной интерпретации, сводят ее к двузначной, используя c = 0.5.

Пример 1.18. Примером разжимающего отрицания с фиксированной точкой является отрицание

если x < c

n(x)=< c, если x = c 0, если c < x

где c£ {0, I}. Элемент x = c является фиксированной точкой, отрицание не является ни обычным, ни слабым, R(n) =3.

Пример 1.19. L={a1, a2,..., am}, ak < ak+1, (k= 1,..., m-1). Здесь 0 = a1, I= am. Элементами шкалы L могут быть, например, лингвистические оценки правдоподобности, истинности, принадлежности. Отрицание n(ak)=am-k+1, (k= 1,..., m-1) является инволютивным. При нечетном m = 2p+1 фиксированной точкой отрицания (центральным элементом L) является элемент s= ap+1. Мера нечеткости на этом элементе принимает максимальное значение. При четном m = 2p фиксированная точка отрицания отсутствует. Фокус L состоит из элементов {ap, ap+1}, имеющих максимальную нечеткость.