1.2. Сжимающие и разжимающие отрицания

Теорема 1.4. Для любого отрицания n и для любого xeL выполняется по крайней мере одно из соотношений

x л n(x) < n(n(x)) < x v n(x),(9)

n(x) л n(n(x)) < x < n(x) v n(n(x)).(10)

Оба соотношения выполняются одновременно тогда и только тогда, когда x - инволютивный элемент.

До ка з а те л ь с т в о. Пусть x < n(x), тогда из (2) получим n(n(x)) < n(x), откуда следует либо x < n(n(x)) < n(x), либо n(n(x)) < x < n(x), что приводит к (9) и (10), соответственно. Двойственно, n(x) < x также приводит к (9) и (10).

Если x - инволютивно, то (9) и (10) очевидно совпадают. Пусть (9) и (10) выполняются одновременно. Тогда из x < n(x) следует n(n(x)) < n(x), и из (9), (10) получаем x < n(n(x)) и n(n(x)) < x, откуда следует инволютивность x. Двойственно, из n(x) < x также следует n(n(x)) = x.

Определение 1.5. Отрицание n называется сжимающим (разжимающим) в точке xeL, если выполняется неравенство (9) (соответственно (10)), и сжимающим (разжимающим) (на L), если соответствующее неравенство выполняется на L.

Следствие 1.6. Отрицание n является инволюцией тогда и только тогда, когда оно сжимающее и разжимающее одновременно.

Классическим примером инволютивного отрицания на [0,1] является отрицание n(x) = 1 - x с фиксированной точкой s =0.5.

Обозначим n0(x) = x, n1(x)= n(x),..., nk+1(x) = n(nk(x)) для k = 1, 2

Структура множества элементов nk(x), (k= 0,1,...), порождаемых некоторым элементом x из L с помощью отрицания n на L, характеризуется следующим образом.

Предложение 1.7. Отрицание n является сжимающим в x тогда и только тогда, когда для всех целых 0<k<j выполняется:

n2k (x) < n2j (x) < n2j+1(x) < n 2k+1(x), если x < n(x),

n2k+1(x) < n2j+1(x) < n2j(x) < n2k(x), если n(x) < x .(12)

Отрицание n является разжимающим в x тогда и только тогда, когда (11), (12) выполняются для всех целых 0<j <k.

Доказательство следует непосредственно из теоремы 1.4 и (2).

Следствие 1.8. Если для некоторого k > 0 элемент nk(x) является фиксированной точкой отрицания n, то n является сжимающим в x.

Заметим, что разжимающее отрицание также может иметь фиксированную точку.

Предложение 1.9. Отрицание n является сжимающим тогда и только тогда, когда на L из

x л n(x) < y < х v n(x)(13)

следует:

х л n(x) <n(y) <х v n(x),(14)

и n является разжимающим тогда и только тогда, когда из (13) следует:

n(x) л n(n(x)) < y < n(x) v n(n(x)).(15)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если из (13) следует (14), то из выполнения (13) для y= n(x) следует (9), т.е. n - сжимающее отрицание. Пусть n -сжимающее отрицание и (13) выполнено для некоторых x и y. Тогда выполняется x < y < n(x) или n(x) < y < x, откуда, применяя (2), получим соответственно n(n(x)) < n(y) < n(x) или n(x) < n(y) < n(n(x)) и из выполнения (9) для n получим соответственно x < n(n(x)) < n(y) < n(x) или n(x) < n(y) < n(n(x)) < x, откуда следует (14).

Аналогично доказывается вторая часть предложения для разжимающего отрицания.

Следствие 1.10. Из выполнения (13) следует для всех k > 0:

x л n(x) <nk(y) <x v n(x),если n сжимающее на L и

nk(x) л nk+l(x) < y < nk(x) v nk+l(x), если n разжимающее на L.

Таким образом, если y находится "между" x и n(x), и n - сжимающее отрицание, то и все элементы nk(y), порождаемые элементом y, также будут находиться "между" x и n(x); а если x и n(x) находятся "по разные стороны" от y, и n - разжимающее отрицание, то и все элементы nk(x) и nk+l(x), порождаемые из x, также будут "по разные стороны" от y.

Определение 1.11. Пусть n - отрицание на L и xeL. Множество оо ( k \

G(x) = U \n (xn называется множеством элементов, порождаемым

k=0

элементом x. Мощность этого множества R= \G(x)\ будет называться рангом элемента x. Если G(x) содержит бесконечное число элементов, то будем писать R(x) = оо. Ранг отрицания n определяется как R(n)= sup R(x).

Отметим следующие очевидные свойства отрицаний.

Следствие 1.12.

1)R(x) = 1 тогда и только тогда, когда x - фиксированная точка отрицания n, т.е. x = s.

2)R(n) = 2, если n - инволюция.

3)R(n) < 3, если n - обычное или слабое отрицание.

Далее, если для n существует обратное отрицание n"1, то для введенных выше понятий будем использовать соответственно обозначения nk(x), G-1(x),Rl(x) и Rl(n).

Предложение 1.13. Пусть n - отрицание на L и xeL. Если R(x)= k, где 1< k< со, то G(x) ={x, n(x),..., nk-1(x)}, и либо выполняется nj(x) = nk-1(x) для всех j > k и n - сжимающее в x с фиксированной точкой s =nk-1(x), либо nk+lj(x)=nk-1(x) и nk+2j+1(x)=nk-1(x) для всех j > 0. Если R(x) = со, то nk(x) * n(x) для всех k *j, k, j > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из R(x)= k следует n J(x)*n l(x) для всех i< j<k и G(x) ={x, n(x),..., nk-1(x)}, так как в противном случае n J(x)=nl(x), n J+l(x) = n1+l(x),, n2j-l(x)= n J(x)= n(x) и т.д., т.е. все n J+p(x), (p>0), принадлежат множеству {ni(x), ni+1(x), ., n j-1(x)}, откуда следует R(x) < j < k, что противоречит тому, что R(x)= k.

Из R(n)=k и G(x) ={ x, n(x),., nk-1(x)} следует, что nk(x) = ni(x) для некоторого i < k. Если nk(x) = nk-1(x), то nk+J(x) = nk-1(x) для всех j > 0, nk-1(x) является фиксированной точкой, и по следствию 1.8. отрицание n является сжимающим в x.

Если n сжимающее в x, то из предложения 1.7 следует, что nk(x) находится «между» элементами {n k-1(x), n k-2(x)}, которые в свою очередь находятся «между» {n k-3(x), n kA(x)} и т.д. Таким образом, равенство nk(x) = nn(x) для некоторого i < k, возможно лишь если i = k - 1 или i = k - 2. Случай nk(x) = nk-1(x) рассмотрен выше. Из nk(x) = nk-2(x), последовательно применяя

k+2jk-2k+2j+ 1k-1

к обеим частям отрицание, получим nk+2j(x) = nk-2(x) и nk+2j+1(x) = nk-1(x) для всех j > 0.

Если n разжимающее в x, то из предложения 1.7 следует, что все элементы из R(x) находятся «между» элементами {nk-2(x), nk-1(x)}, которые в свою очередь находятся «между» { nk(x), nk+1(x)} и т. д., Таким образом, равенство nk(x) = ni(x) для некоторого i < k, возможно для разжимающего отрицания лишь если i = k - 2. Из nk(x) = nk-2(x), получаем nk+2j(x) = nk-2(x) и nk+2j+1(x) = nk-1(x) для всех j > 0.

Если R(x) = с, то n k *n J для всех k * j; k, j > 0, поскольку из nk(x)= n(x) для некоторых k *j следует R(x) < max{ j, k}.

Предложение 1.13 доказано.

Предыдущие утверждения формализуют представление об элементах, порождаемых сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, как о спиралях, соответственно «закручиваемых внутрь» или «раскручиваемых наружу», причем эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае