нечеткого множества на случай частично упорядоченного множества значений принадлежности L было предложено в работе [78] и рассматривалось в работе [62].

Связь алгебры нечетких множеств с алгебрами Клини впервые по-видимому обсуждалась в работе [105]. Алгебры Де Моргана и алгебры Клини в связи с неклассическими и нечеткими логиками обсуждались в работах [5, 6, 12, 29, 41, 42, 59, 64, 67, 68, 70, 83, 93, 102, 111]. Общие свойства решеток обсуждаются в работах [16, 21].

Материал раздела 2 основан на работе [42]. Теорема 2.11 является модификацией результата изложенного в [83].

Понятие меры нечеткости нечетких множеств как аналога меры энтропии вероятностных распределений было введено в [63]. Различные аксиоматики и свойства показателей нечеткости обсуждаются в работах [1, 4 - 6, 12, 29, 40 - 42, 63, 89, 90, 118]. Обобщение меры нечеткости на алгебры Де Моргана использует аксиоматику работы [4]. Материал раздела 3 основан на работах [6, 41]. В этих работах можно найти также свойства метрик и мер нечеткости на алгебрах Клини.

В работах [40, 64, 118] исследуются также меры нечеткости на алгебрах Де Моргана F со значениями в F, например, определяемые как d(A) = AnlA. Двойственная мера k(A) = AuA может служить для оценки "четкости" элемента A.

Впервые аксиомы для операций Заде исследовались в [56], где было показано, что введенные Заде операции конъюнкции и дизъюнкции и определяемые ими операции пересечения и объединения однозначно определяются системой аксиом, в число которых входят коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, непрерывность, монотонность, и т.д. Общие вопросы определения нечетких связок исследовались также в работах [65, 72, 88, 119]. В работах [38, 111] исследуются вопросы характеризации основных операций нечеткой логики, введенных Заде, в частности, аксиомы P1 - P3 и теорема 4.1 основаны на этих работах. Вывод операций min и max из аксиом дистрибутивности и идемпотентности рассматривался также в работах [113, 116]. Свойства обобщенных дистрибутивных и идемпотентных операторов изучаются также в [60, 94,

95].

Операции отрицания подробно рассматриваются в следующей главе.

ГЛАВА 2. ОПЕРАЦИИ ОТРИЦАНИЯ

1. Операции отрицания на линейно упорядоченном множестве

1.1. Основные понятия

Пусть L - множество значений принадлежности (правдоподобности, уверенности, возможности, истинности), упорядоченное отношением линейного порядка < , с наименьшим 0 и наибольшим I элементами. Будем предполагать, если не оговорено противное, что L >2. Таким образом, кроме условий рефлексивности, антисимметричности и транзитивности для всех x,yeL выполняется: x < y или y <x (линейность) и 0 <x, y <I. Отношение < определяет на L операции л = min и v = max обычным образом: xлy= x и xvy = y, если x< y; xлy= y и xvy= x, если y < x. x < y означает, что x < y и x # y.

Примером L может служить интервал вещественных чисел [0,1], шкала лингвистических оценок правдоподобности L = {неправдоподобно, мало правдоподобно, средняя правдоподобность, большая правдоподобность, наверняка}, шкала балльных оценок L= {0, 1, 2,..., m} и др.

Определение 1.1. Операцией отрицания на L называется функция n:L-L, удовлетворяющая на L условиям:

n(0) =I,n(I ) = 0,(1)

n(y) < n(x), если x < y.(2)

дополнительных условий

В зависимости от выполнения на L рассматривают следующие типы отрицаний:

n(y) < n(x), если x < y

если x < y и n(y) = n(x), то n(x), n(y) e{0,I }

n(n(x)) = x

n(n(x)) < x

x < n(n(x))

(строгое отрицание), (квазистрогое отрицание), (инволюция), (обычное отрицание), (слабое отрицание).

Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент x из L будет называться инволютивным элементом, если n(n(x)) = x, в противном случае он будет называться неинволютивным. Отрицание будет называться неинволютивным, если L содержит неинволютивные по этому отрицанию элементы.

Нетрудно увидеть, что если n обычное или слабое отрицание, то n удовлетворяет на L соотношению:

n(n(n(x))) = n(x).

Элемент seL, удовлетворяющий условию

n(s) = s,(3)

называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом) L. Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна и 0 < s < I.

Пусть T,S:LxL - L - операции, удовлетворяющие на L условиям:

T(x,y)= T(y,x),S(x,y) = S(y,x),(4)

T(x,y) < x,x < S(x,y).(5)

В качестве операций T и S могут рассматриваться операции конъюнкции и дизъюнкции, соответственно, в частности операции л = min и v = max.

Предложение 1.2. Операция отрицания n удовлетворяет на L неравенству Клини:

T(x,n(x)) <S(y,n(y)).(6)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если x <y, то T(x,n(x)) <x <y <S(y,n(y)). Если y <x, то n(x) <n(y) и T(x,n(x)) <n(x) <n(y) <S(y,n(y)).

Предложение 1.3. Если n - инволюция, то один из законов Де Моргана

n(S(x,y)) = T(n(x),n(y)),(7)

n(T(x,y)) = S(n(x),n(y)).(8)

выполняется на L тогда и только тогда, когда выполняется второй закон. Если T = min и S = max, то законы Де Моргана выполняются для любого отрицания n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n - инволюция. Подставив в одно из соотношений (7), (8) вместо x и y соответственно n(x) и n(y) и взяв отрицание от обеих частей полученного равенства из выполнения n(n(x)) = x на L получим второе соотношение. Если T = min и S = max, то выполнение законов Де Моргана следует из линейной упорядоченности L. Пусть, например, x < y, тогда n(y)<n(x) и обе части (7) совпадают: n(S(x,y))= n(y) и T(n(x),n(y))= n(y). Аналогично совпадение получим для

(8).