Так как для A и B условие Клини не выполняется, то из (2), инволютивности и законов Де Моргана следует, что не выполняется и двойственное соотношение Bn~B с AuA, откуда аналогично предыдущему получаем

d[(BnlB)n(AulA)]+d[(BulB)u(AnA)] < d(BnB)+d(Bu~B).

Складывая последнее неравенство с (20), получаем противоречие с равенством: d(AnA)+ d(AulA)+ d(Bn\B)+ d(BuB)= d[(An~A) n(B uB)] + d[(AnA)u(BulBJ] + d[(Au~A)n(BnlB)] + d[(AulA)u(BnlBJ], которое следует из Q4, что доказывает лемму.

Теорема 3.1. следует из предложений 3.2, 3.3 и леммы 3.4. Из свойств меры нечеткости (15) и свойств фокуса следует, что в метрических фокальных алгебрах Клини все элементы фокуса имеют максимальное значение нечеткости. Например, в алгебре F(X) нечетких множеств, определенных на конечном универсуме X = (x1,...,xnj со значениями в L = [0,1], центральным элементом является нечеткое множество W с функцией принадлежности W(x) = 0.5 для всех xeX, которое и имеет максимальную нечеткость. Если в качестве L взять L= {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1}, определив операции на L так же, как и на [0,1], то F(X) будет фокальной алгеброй Клини с фокусом [W,lW], где W(x) =0.4 и lW(x)= 0.6 для всех xeX. Все нечеткие множества из этого интервала имеют одинаковое максимальное значение меры нечеткости.

Метрика, удовлетворяющая на алгебре Де Моргана F условию

p(A,B)= p(lA,lB),

называется симметричной. Можно показать, что метрика симметрична тогда и только тогда, когда определяющая ее оценка является симметричной, т.е. удовлетворяет на F условию

v(A) + v(lA) = v(0) + v(U).

Если оценка v симметрична, и p - определяемая ею метрика, то выражения (17) - (19) определяют одну и ту же меру нечеткости. На алгебре Клини F с центральным элементом W и симметричной метрикой мера нечеткости на F может быть задана как расстояние от центрального элемента:

d(A) = 0.5p(0,U) -p(A,W).

Оценка v называется нормализованной, если v(0)= 0. Если на алгебре Клини F с центральным элементом W задана мера нечеткости d, то с ее помощью можно задать на F нормализованную симметричную оценку:

v(A) = 2d(AnW) - d(A),

и соответствующую ей симметричную метрику.

С помощью последнего соотношения можно вводить на алгебре Клини с центральным элементом положительные оценки и метрики, соответствующие логарифмической энтропии и другим мерам нечеткости, рассматриваемым на множестве нечетких множеств.

Можно показать справедливость следующего утверждения [41].

Теорема 3.5. В алгебре Клини с центральным элементом устанавливается взаимно однозначное соответствие между мерами нечеткости и нормализованными симметричными положительными оценками, между мерами нечеткости и симметричными метриками.

4. Система аксиом для операций Заде

Введенные Заде операции конъюнкции хлу = min(x,y) и дизъюнкции xvy = max(x,y) однозначно определяются следующими аксиомами [38,

111]:

P1. Дистрибутивность.

P2. Монотонность (неубывание):

xy <2ли и xvy <zvu,если x<z, y<u.

P3. Граничные условия:

xл1 = 1лx = x, xv0 = 0vx = x.

Из монотонности и граничных условий следует выполнение условий:

0лx = 0,1vx = 1.

Далее выводится условие идемпотентности дизъюнкции:

x = xл1 = xл(1v1)=(xл1)v(xл1)= xvx,

и из max(x,y) = max(x,y)vmax(x,y) >xvy >max(xv0,0vy) = max(x,y) следует xvy = max(x,y). Аналогично выводится xy = min(x,y).

Операция отрицания Заде может быть определена как функция n:L-L, удовлетворяющая следующим аксиомам:

N1. n(0) = 1,n(1) = 0,

N2. x - y = n(y) - n(x), для всех x,y e L.

Первая аксиома обобщает соответствующее свойство булева отрицания. Вторая означает, что приращение значений принадлежности и их отрицаний равны по величине и противоположны по знаку. Из этих аксиом следует x + n(x) = 1 для всех x e L, что приводит к n(x) = 1- x.

Однако, в нечеткой логике исследуется более широкий класс отрицаний, определяемых аксиомой N1 и аксиомой невозрастания:

N3. n(y) < n(x), если x < y.

Особый интерес представляют отрицания, удовлетворяющие также аксиоме инволютивности. Такие отрицания называются сильными отрицаниями. Кроме отрицания Заде n(x) = 1 - x этим условиям

2 1/2

удовлетворяет, например, отрицание: n(x)=(1-x) . Более подробно нечеткие отрицания будут рассматриваться в следующей главе.

Приведем без доказательства следующий результат [38, 111].

Теорема 4.1. Если непрерывные, неубывающие, ассоциативные и удовлетворяющие граничным условиям функции л и v удовлетворяют законам Де Моргана для всех сильных отрицаний, то xAy = min(x,y) и xvy= max(x,y).

Библиографические комментарии к главе 1

Понятие нечеткого множества было введено Заде в 1965 году [123], где он ввел основные операции над нечеткими множествами. Там же он предложил также более «мягкие» алгебраические операции конъюнкции и дизъюнкции xAy= xy и xvy = x+y-xy, называемые в нечеткой логике также вероятностными конъюнкцией и дизъюнкцией соответственно. В 1966 году вышла статья Заде по нечетким множествам на русском языке [23].

Интерпретация функций принадлежности и методы их получения могут быть найдены в работах [1, 7, 10, 14, 18, 22 - 27, 31-33, 55, 66, 75-78, 80, 84, 88, 90, 105, 109, 124-127]. Параметрические функции принадлежности можно найти, например, в работах [1, 82, 90].

Использование нечетких множеств для описания лингвистических понятий и восприятий обсуждается в работах [1, 17, 18, 22, 24, 25, 80, 124127]. Практические приложения нечетких множеств в задачах моделирования обсуждается в [1 - 3, 15, 17 - 19, 22, 27, 30 - 33, 35, 36, 55, 57, 77, 82, 84, 86, 88, 90, 100, 107, 108, 122, 127]. Обобщение понятия