Теорема 2.11. Алгебра Де Моргана F с центральным элементом W нормальна (является алгеброй Клини), тогда и только тогда, когда W является единственным центральным элементом в F.

До казате льс тв о. Если F является алгеброй Клини с центральным элементом, то из того, что центральный элемент является интервальной подалгеброй, и из теоремы 2.1. следует его единственность.

Пусть W единственный центральный элемент в алгебре Де Моргана F. Покажем, что F нормальна. Предположим, что это не так, тогда в F существует элемент A, для которого не выполняется (13). Обозначим T= AuA, P=AnA, B=(WnT)uP. Из законов Де Моргана и инволютивности отрицания имеем lT= P и lP=T, что совместно с (12) и дистрибутивностью дает: ]B=l[(WnT)uP] = l(WnT)nP = (]Wu\T)nT =.(WuP)nT = (WnT)u(PnT)= (WnT)uP= B. Таким образом, B - центральный элемент. Имеем AnlA = P с (WnT) uP = B, т.е. AnlA с B. Поскольку в силу предположения для W (13) не выполняется, получаем B # W, и F имеет более одного центрального элемента, что противоречит тому, что W -единственный центральный элемент в F.

Теорема доказана.

3. Метрические алгебры Клини и меры нечеткости

Мерой нечеткости (мерой энтропии) на алгебре Клини <F;n, u,l,0,U> называется вещественная функция на F такая, что:

Q1. d(0 = 0; Q2. d(A) = d(lA);

Q3. из AnlA cBnlB следует d(A)<d(B); Q4. d(AuB) + d(AnB) = d(A) + d(B).

Первоначально мера нечеткости была введена Де Люка и Термини [63] как аналог меры энтропии, как мера неопределенности, связанной с частичной принадлежностью элементов нечеткому множеству, как мера отличия нечеткого множества от обычного множества. В дальнейшем эта мера была обобщена на алгебры Клини и было показано, что она характеризует алгебры Клини и булевы алгебры в классе метрических алгебр Де Моргана.

Из Q1 , Q3, граничных условий и из (12) следует неотрицательность меры нечеткости. Условие Q2 требует, чтобы мера нечеткости принимала одинаковые значения для нечеткого множества и его дополнения. Условие Q3 фактически оценивает близость нечетких множеств к обычным множествам, для которых выполняется AnA=0. Условие Q4

характеризует аддитивность меры нечеткости. В частности, при AnB=0 оно приводит к d(AuB)= d(A)+ d(B).

Вещественная функция v на решетке F такая, что

v(A uB) + v(AnB) = v(A) + v(B),(14)

из A czB следует v(A)<v(B),

называется положительной оценкой на F. Из теории решеток известно, что положительная оценка v определяет метрическую решетку F с метрикой:

p(A,B) = v(AuB) - v(AnB).

Например, на алгебре F(X) нечетких множеств, определенных на конечном универсуме X = {x1,,xn}, мощность нечеткого множества n

v(A) = Z A(Xfc) является положительной оценкой, а определяемой ею

к=1

n

метрикой является функция р(A, B) = Z A(Хк) - B(Хк). Заметим, что в

к=1

практических приложениях теории нечетких множеств, как правило, рассматриваются нечеткие множества, определенные на конечном универсуме X.

Теорема 3.1. Метрическая алгебра Де Моргана <F;n,u,l,0U> является алгеброй Клини тогда и только тогда, когда на F может быть задана мера нечеткости d, причем, эта алгебра является булевой тогда и только тогда, когда d всюду на F равна нулю.

Для доказательства теоремы установим предварительно ряд свойств мер нечеткости на F.

Предложение 3.2.

d(A) = d(lA) = d(AnlA) = d(AuA),(15)

d(A) = 0 тогда и только тогда, когда A - булев элемент в F.(16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. (15) следует из Q2, инволютивности, законов Де Моргана и из Q4.

(16) следует из (15), (3), Q1 и из Q3, (3), (15), Q1. Предложение 3.3. Функции

d(A) = v(AnA) - v(0,(17)

d(A) = O.5(p(0,U) - p(A,lA)).(18)

d(A) = v(U) - v(AuA),(19)

являются мерами нечеткости на метрической алгебре Клини F с положительной оценкой v и определяемой ею метрикой р.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение Q1 - Q3 для функции (17) очевидно. Покажем, что (17) удовлетворяет условию Q4. Из законов Де Моргана, (14) и свойств дистрибутивных решеток следует: d(AuB) + d(AnB) = v[(AuB)nl(AuB)] - v(0+v[(AnB)nl(AnB)] - v(0) = v[(AuB)n(AnlB)] + v[(AnB)n(AuB)] - 2v(0) =

v[(A uB)n(lAnlB) u(AnB)n(A uB)]+v[(A uB)n(~AnlB)n(AnB)n(~A uB)]-2v(0)= v[(AnAnlB)u(BnAnB)u(AnBnlA)u(AnBnB)] + v(AnBnAnB) - 2v(0) =

v[(AnAnB)u(AnAnB)u(BnBnA)u(BnlBnlA)] +v[(An~A)n(Bn~B)] -2v(0)= v[(AnA)n(BuB)u(BnB)n(AuA)] +v[(AnlA)n(BnB)] - 2v(0. Применяя условие нормальности к первому слагаемому и используя (14), получим:

d(AuB) + d(AnB) = v[(AnA)u(BnB)] + v[(AnA)n(BnB)] - 2v(0) = v(AnA) + v(BnB) -2v(0)= d(A) + d(B).

Выполнение Q1 - Q4 для функции (19) проверяется аналогично.

Функция (18) является полусуммой (17) и (19). Как это нетрудно увидеть, сумма мер нечеткости, взятых с положительными коэффициентами, также будет мерой нечеткости. Поэтому функция (18) также будет мерой нечеткости.

(18) дает естественную интерпретацию меры нечеткости как функции от расстояния между нечетким множеством и его дополнением.

Простейшая мера нечеткости вида (17) определяется мощностью

n

нечеткого множества: d (A) = min( A( xk - A( xk))).

k=1

Лемма 3.4. Если алгебра Де Моргана F не является нормальной, то не существует вещественной функции d на F, удовлетворяющей условиям

Q1- Q4.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что F не нормальна, и на ней определена функция d, удовлетворяющая условиям Q1 - Q4. Тогда существуют A,BeF„ для которых условие нормальности не выполняется, и из выполнениядля всех A, B следует строгое

неравенство (AnlA) n(B u\B) a AnlA. Обозначим (AnA)n(BuB) через C, тогда получаем: C a AnlA с AuA с (AuA) u(BnB) = lC, откуда следует CnlC = Ca AnlA, и из Q3 имеем d(C) < d(A). Учитывая (15), получаем d(lC) = d(C) < d(AnA) = d(AuA), откуда следует

d(C) + d(lC) =

d[(AnA)n(BulB)]+d[(AuA)u(BnB)] < d(AnA)+d(Au]A). (20)