(Условие Клини) => (5). Пусть выполняется Ac lA, Вс lB, тогда A=AnlAc BulB = lB, и B=BnlBc AuA = lA. Из Ac lA, Вс lB и из Ac lB, Вс lA следует AcAnB и BclAnlB, что дает A uB c lAnlB.

Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.1.

1)Если пересечение любых двух интервальных подалгебр F не пусто, то из лемм 2.4 и 2.5 следует, что F - нормальна.

2)Пусть F - алгебра Клини, и Z1, Z2 - произвольные ее интервальные подалгебры. Из леммы 2.2 следует, что существуют некоторые A,BeF, порождающие эти интервальные подалгебры, а из лемм 2.5 и 2.4 следует, что пересечение интервальных подалгебр Z1, Z2 не пусто.

3)Пусть F - булева алгебра. Тогда для всех A eF выполняется AnlA = 0, AuA = Uи Z(A) = [0U] = F.

4)Пусть F содержит лишь одну интервальную подалгебру. Тогда отношение « содержит лишь один класс эквивалентности, совпадающий с F, который в соответствии с леммой 2.3 является булевой алгеброй.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что алгебра Де Моргана, не являющаяся алгеброй Клини, содержит по крайней мере две интервальные подалгебры, пересечение которых пусто. Простейшим примером такой алгебры является множество из четырех элементов F= {0 A, B, U}, с диаграммой Хассе, представленой на рис. 2, и с операцией отрицания: lA = A, lB = B, 10 =U, lU= 0. Тогда Z(A)={A}, Z(B)={B}, Z(0)= Z(U)= F, и Z(A)nZ(B)=0.

Определение 2.6. Интервальная подалгебра, содержащаяся во всех других интервальных подалгебрах алгебры Клини F, называется центральной подалгеброй F или фокусом F, а алгебра Клини, содержащая фокус, называется фокальной алгеброй Клини.

U

0

Рис. 2. Диаграмма Хассе четырехэлементного множества Из теоремы 2.1 следует следующий результат.

Следствие 2.7. Фокус алгебры Клини, если он существует, является булевой алгеброй.

Теорема 2.8. В полных алгебрах Клини фокус всегда существует.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F - полная алгебра Клини. Из полноты F следует существование в F элементов

G = sup {AnA},H = inf {BuB}.(6)

AeFBeF

Из условия Клини и определения sup и inf следует G ccBuB для всех Be F и GcH. Из леммы 2.2 следует, что произвольная интервальная подалгебра представима в виде [Cn\ C, Cu\ C] для некоторого CeF, и из

(6) и GcH следует Cn\ CcGcHcCu\ C, т.е. интервал [G,H] содержится в

любой интервальной подалгебре алгебры Клини F.

Из An\ AcG для всех Ae F и из (2) следует \ GcAu\ A для всех Ae F, и из (6) и определения inf получим \ GcH. Двойственно получаем Gc\ H, и из (2) и инволютивности отрицания следует Hcc]G. Сравнивая ~\G<cH и Hcc]G, получим ]G=H. Таким образом, имеем [G,H] = [G,]G] = [GnlG, Gu]G], т. е. [G,H] есть интервальная подалгебра F.

Теорема доказана.

Из теоремы 2.8 в частности следует, что полная алгебра Клини является фокальной алгеброй Клини.

Теорема 2.9. Алгебра Де Моргана F является фокальной алгеброй Клини тогда и только тогда, когда в F существует элемент W такой, что на F выполняется тождество:

(AnA)u(WnlW) = W.(7)

Докажем предварительно следующую лемму.

Лемма 2.10. Пусть W - некоторый элемент алгебры Де Моргана F. Тогда на F выполняется (7) тогда и только тогда, когда выполняется

Wn\ W = W,(8)

(AnA)uW = W.(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (7), подставляя W вместо A и применяя идемпотентность, получим (8). Подставляя (8) в (7), получим (9).

Подставляя Wn\ W из (8) в левую часть (9) вместо W, получим (7). Лемма 2.10 доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.9. Пусть в алгебре Де Моргана F существует элемент W такой, что (7) выполняется для всех элементов A из F, тогда на F выполняется (8), (9), что совместно с (1) дает:

WclW,(10)

AnlA W.(11)

Из (11) и (2), получим: lW AulA, что совместно с (11) и (10) дает:

AnlA W lW AulA, т.е. [W,lW] = [WnlW,WulW], есть интервальная

подалгебра, которая содержится в любой интервальной подалгебре [AnlA,AulA], и из теоремы 2.1 и определения 2.6 следует, что F -фокальная алгебра Клини.

Пусть F - фокальная алгебра Клини с фокусом Z = [CnlC,CulC]. Обозначим W = CnlC, тогда lW= CulC, Z = [W,lW] и выполняется (10). Для каждого A eF фокус Z содержится в интервальной подалгебре Z(A) = [AnlA,AulA] и выполняется AnlA W lW AulA, откуда следует (11). Из (10) и (11) следует (8), (9) и (7).

Теорема доказана.

Как следует из теоремы 2.9, тождество (7) совместно с тождествами алгебры Де Моргана определяет многообразие фокальных алгебр Клини <F;n,u, 1 , 0, U, W > с фокусом [W,lW]. Очевидно, что любая булева алгебра с выделенным элементом W=0 также является фокальной алгеброй Клини.

Элемент W алгебры Де Моргана, удовлетворяющий условию

lW = W,(12)

будет называться центральным элементом, а алгебры <F;n,u, l , 0, U, W>, определяемые системой тождеств алгебр Клини и тождеством (12) будут называться алгебрами Клини с центральным элементом (иногда алгебрами Клини называются именно такие алгебры).

Алгебра Клини с центральным элементом является фокальной алгеброй Клини с фокусом, состоящим из единственного элемента W: условие Клини и (12) приводят к AnlA WulW =W, к (9), (8) и (7).

В алгебрах Де Моргана с центральным элементом W условие Клини эквивалентно условию

AnlA W.(13)

В самом деле, из условия Клини и (12) следует (13): AnlA WulW =W. Из (13) и (12) получаем, учитывая (2): W= lW с l(BnB) =BuB для всех B из F, что совместно с (13) приводит к условию Клини.