(p,q> 0). Суммарное число 45 параметров модели состояло из 18 параметров операций и 27 параметров правых частей 9 правил. На рис. 30 приведен для простоты аналог этой модели для 4 правил с двумя нечеткими множествами по каждой переменной.

Yi

Рис. 30. Архитектура нейро-нечеткой системы типа ANFIS с 4 правилами

Приведем краткое описание слоев соответствующей нейро-нечеткой модели.

Слой 1. Входами являются вещественные значения x и у. Выходами являются значения принадлежности A(x), Bj(y), в качестве которых были выбраны колоколообразные функции принадлежности.

Слой 2. Выходами являются величины срабатывания wt посылок правил: wi=Ai(x)piBi(y)qi.

Слой 3. Выходами являются нормализованные величины срабатывания правил: wi*=wi /Ei(wi).

Слой 4. Выходами являются взвешенные заключения правил:

fiWi* = (SiX+Uy+Vi)Wi*.

Слой 5. Выходом является значение функции, определяемой моделью:

f=Ltfm*).

Слои 1, 3, 5 имеют фиксированные узлы, слои 2 и 4 имеют адаптивные узлы с параметрами операций pi, qi и параметрами правых частей правил sit tit г; соответственно. В общем случае узлы слоя 1 также могут рассматриваться как адаптивные с параметрами функций принадлежности. В применяемой модели эти функции принадлежности были зафиксированы и равномерно распределены по области значений входных переменных [-10,10].

При оптимизации этой нейро-нечеткой системы применялся метод наименьших квадратов для идентификации параметров правых частей правил и метод обратного распространения ошибки для идентификации параметров операций. Среднеквадратичная ошибка аппроксимации значений функции sinc, вычисленных в 400 равномерно распределенных точках диапазона входных значений [-10,10]х[-10,10], составила 0.0248 после 300 эпох.

Как видно из рис. 30, нейронная сеть наглядно отображает структуру нечеткой системы, однако, применение стандартных методов оптимизации нейронных сетей к полученной сети затруднительно, поскольку оптимизируемые параметры не ассоциированы непосредственно с дугами сети. Кроме этого, условие, чтобы все выходы одного слоя были связаны со всеми входами другого слоя, требуемое в стандартной архитектуре многослойных нейронных сетей, в предложенной модели не выполняется. По этой причине была предложена архитектура нейро-нечеткой системы, к которой применимы стандартные методы оптимизации нейронных сетей. Структура этой системы для упрощенного аналога модели Сугено с 2 нечеткими множествами по каждой переменной и 4 правилами представлена на рис. 31.

Приведем описание этой сети.

Слои 1-6. Входами являются вещественные значения x и y.

Выходами являются функции принадлежности Ai(x), Bj(y)

обобщенных гауссовских функций принадлежности. Слои 7-15. Выходами являются значения конъюнкций:

wl=Al(x)piBl(y)qi. Слой 16. Выходом является величина w*=1/i(wi). Слои 17-25. Выходами являются нормализованные значения

срабатывания правил: wi*=wiw*. Слои 26-34. Выходами являются заключения правил: f = six+tiy+ri. Слои 35-43. Выходами являются взвешенные заключения правил:

fwi*.

Слой 44. Выходом является значение функции, определяемое моделью: f=Li(fwi*).

В этой нейронной сети обучались выходы слоев 7 - 15 и 26 - 34. Выходы остальных слоев использовались только для вычисления выхода системы.

Если в первой нейронной сети свойство "все узлы некоторого слоя связаны со всеми узлами некоторого другого слоя" не выполняется, то для второй сети это условие выполнено, что дает возможность применять для обучения нейронной сети стандартное программное обеспечение. В то же время количество слоев нейронной сети значительно увеличилось. Средняя квадратичная ошибка аппроксимации значений функции sine по выбранным 400 точкам методом Левенберга-Маккарта составила 0.0283 после 49 эпох обучения.

В рамках предложенных архитектур нейро-нечетких систем сохраняется возможность также и оптимизации по параметрам нечетких множеств при параметрическом их задании.

net-{mp+w}b mt-tnp1 -inp

out-e

-net

out-net

ii

j=i

out - net

inp-x,w-c.,b-

Рис. 31. Линеаризованная нейро-нечеткая система с 4 правилами