|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[3] Первые четыре тождества определяют решетку. Дистрибутивная решетка с инволютивной операцией дополнения, на которой выполняются законы Де Моргана называется решеткой Де Моргана. Решетка Де Моргана с наименьшим 0 и наибольшим U элементами называется алгеброй Де Моргана. Отношение частичного упорядочения z элементов решетки связано с решеточными операциями n и u следующим образом: A zB тогда и только тогда, когда AnB =A, AuB=B.(1) Отметим также следующие свойства решеток, которые будут в дальнейшем использоваться в доказательствах: из A zB, A zC следует A zBnC, из A zC, B zC следует AuBzC. В алгебре Де Моргана выполняется: l0= U,lU = 0; из A zB следует lB <z~A.(2) Как известно, алгебра обычных множеств является булевой алгеброй, операции которой кроме перечисленных тождеств алгебры Де Моргана удовлетворяют тождествам AnlA = 0, AuA = U.(3) Для алгебры нечетких множеств выполняется в общем случае лишь следующее более слабое условие (AnA)n (BuB) =AnA (условие нормальности). Это тождество часто записывают в виде: AnlA z BulB(условие Клини). Нормальная алгебра Де Моргана <F;n,u,l,0,U> называется алгеброй Клини. Алгебры Де Моргана и алгебры Клини играют важную роль при изучении неклассических логик. Элемент A алгебры Де Моргана F, удовлетворяющий условиям (3), будет называться булевым. В алгебрах Клини выполняются следующие соотношения [83]: (AnlA) u(BnB)c(AnB) u(lAnB)=(A uB)n(A uB)c(A uA)n(B uB), (AnlA) u(BnlB)c(AnB) u(lAnlB)=(A u~B)n(~A uB)c(A uA)n(B uB). 2. Фокальные алгебры Клини Пусть <F;n,u,l,0,U> - алгебра Де Моргана, и Zявляется подалгеброй F по операциям n ,u, l, т.е. из A,B eZ следует AnB eZ и A uB eZ, и из AeZ следует lA eZ. Подалгебра Z будет называться интервальной подалгеброй F, если Z является интервалом Z = [C,D], где C и D - некоторые элементы из F такие, что C с D, и Z состоит из всех элементов A eF таких, что C с A D. Теорема 2.1. Алгебра Де Моргана F является алгеброй Клини тогда и только тогда, когда пересечение любых ее двух интервальных подалгебр не пусто, и F является булевой алгеброй тогда и только тогда, когда она содержит лишь одну непустую интервальную подалгебру (совпадающую с F). Для доказательства теоремы докажем ряд вспомогательных утверждений. Лемма 2.2. Для любого элемента CeF интервал [CnlC,CulC] является интервальной подалгеброй F, и любая интервальная подалгебра Z алгебры Де Моргана F представима в виде Z = [CnlC,CulC] для некоторого Ce F. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Z = [CnlC,CulC] для некоторого C eF. Поскольку любой интервал решетки F является ее подалгеброй по операциям n и u, достаточно показать, что Z замкнуто относительно операции дополнения l. Из AeZ следует CnlC A CulC, из (2) получаемоткуда следует CnlC lA CulC, т. е. lAe Z. Пусть Z = [C,D] - интервальная подалгебра F. Тогда lC,lDe Z, что дает C lD, lC D, и из (2) получим l(lD)=D с lC, что приводит к lC= D. Из CcD=lC и (1) следует C=CnlC, CulC =D и Z = [CnlC, CulC]. Лемма доказана. Интервальная подалгебра Z = [CnlC, CulC] алгебры Де Моргана F будет обозначаться Z(C) и называться интервальной подалгеброй F, порожденной элементом Ce F, а элемент C - элементом, порождающим интервальную подалгебру Z(C). Ясно, что Z является подмножеством любой интервальной подалгебры, содержащей C. На множестве F можно задать отношение эквивалентности « такое, что A « B, если A и B порождают одну и ту же интервальную подалгебру. Лемма 2.3. Каждый класс эквивалентности E отношения « в алгебре Де Моргана F образует булеву алгебру с операциями п,и,~] из F. Доказательство. Пусть E - произвольный класс эквивалентности отношения « в алгебре Де Моргана F, и A,B -произвольные элементы из E. Тогда A и B порождают одну и ту же интервальную подалгебру Z= [AnA, AuA] = [BnB, BuB], причем из A,BeZ следует, что EcfZ. Из инволютивности ] следует, что ~A,~BeE. Покажем, что AnB принадлежит E. Обозначим C = AnB. Тогда, учитывая (1) и AnA cB, BnB cA, AnA = BnB, получим: Cn]C = (AnB)n](AnB) = AnBn(AuB) = (AnBnA)u(AnBnB) = (AnA)u(BnB) = (AnA), далее имеем Cu]C =](Cn\C) =](AnA) = AuA, что дает Z= [Cn]C, Cu]C]= Z(C), откуда следует CeE и AnBeE. Аналогично показывается, что A uB eE. Таким образом, E является подалгеброй алгебры Де Моргана F. Учитывая, что для произвольного A eE элементы AnA и A uA являются соответственно наименьшим и наибольшим элементами в E, получаем, что E образует булеву алгебру. Лемма 2.4. Для произвольных элементов A,B алгебры Де Моргана F выполняется Z(A)nZ(B) ф 0 тогда и только тогда, когда выполняется (AnA) u(Bn]B)c (A uA)n(B uB)(4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим, что пересечение интервальных подалгебр алгебры Де Моргана F, если оно не пусто, является интервальной подалгеброй F, так как пересечение подалгебр является подалгеброй, а пересечение интервалов является интервалом. Пусть Z(A)nZ(B) ф 0, тогда Z(A)nZ(B) = {CeF\ AnAcCcAuA и Bn]BcCc BuB} ф 0, откуда следует Z(A)nZ(B) = {CeF\ (AnA) u(Bn~B)c: Cc (Au]A)n(Bu]B)} ф 0, что приводит к (4). Обратным путем показывается, что если существуют A,BeF, для которых выполняется (4), то Z(A)nZ(B)ф 0. Лемма 2.5. В алгебре Де Моргана условие Клини, условие (4) и условие из Ac] A, Bc] B следует AuB c] An] B(5) попарно эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. (5) => (4). Из свойств операций пи u и законов Де Моргана следует: AnAc AuA = ~\(An~A), BnBc Bu]B = что совместно с (5) приводит к (4). (4) (условие Клини). AnAc (An~A)u(Bn~B)c: (Au~A)n(Bu~B)c: Bu\ B. |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||