u(k)=sin(2лk/250).

Начальные 20 значений u(k) использовались для определения стартовых значений параметров нечеткой модели, после чего на каждом шаге применялась адаптация параметров модели до окончания процесса обучения на шаге к=250. Результаты моделирования приведены на рис. 29, из которого видно, что графики функций, описывающих поведение системы и модели практически неразличимы, причем совпадение графиков наблюдается и после того, как по окончании адаптации нечеткой модели закон изменения входного воздействия u(k) был изменен на шаге к= 500 на следующий:

u(k)=0.5sin(2nk/250)+0.5sin(2nk/25).

В табл. 1 приведено сравнение числа параметров, используемых в предлагаемом подходе к оптимизации нечетких моделей по параметрам операций, с числом параметров, используемых в других подходах, описанных в литературе. Как видно из таблицы, предлагаемый подход использует наименьшее число параметров при удовлетворительном уровне решения задачи идентификации системы.

Табл. 1. Число параметров, используемых разными подходами в примере идентификации динамической системы

Рис. 29. Графики изменения входа u(k), "неизвестной" функции f(u(k)), нечеткой модели F(u(k)), выхода системы y(k) и выхода модели Y(k)

(почти совпадают)

10. Представление и оптимизация нечетких моделей Сугено нейронными сетями

Нечеткие системы могут быть представлены многослойными нейронными сетями. Это представление может быть использовано в нескольких целях. Во-первых, такое представление нечетких систем позволяет использовать для оптимизации нечетких систем методы оптимизации нейронных сетей, в частности, метод обратного распространениия волны. Во-вторых, подобное представление может использоваться для аппаратной реализации нечетких систем с помощью имеющихся технологий аппаратной реализации нейронных сетей.

Нечеткие системы, представленные с помощью нейронных сетей, обычно называют нейро-нечеткими системами. В настоящее время разработаны методологии представления и оптимизации нейро-нечетких систем по параметрам функций принадлежности. Здесь приводятся результаты проведенного моделирования по представлению и оптимизации нейро-нечетких систем Сугено по параметрам операций на задаче аппроксимации функции от двух переменных.

Рассматривались две архитектуры нейро-нечеткой системы. В первой, типа ANFIS, структура нейронной сети наглядно отображает структуру нечеткой системы, однако, оптимизируемые параметры находятся не на дугах сети, как это имеет место в стандартных многослойных нейроных сетях, а в узлах сети. В другой архитектуре нейро-нечеткой системы оптимизируемые параметры (в том числе и параметры операций) находятся на дугах сети, что позволяет применить стандартные методы оптимизации нейронных сетей для оптимизации нейро-нечеткой системы по параметрам операций. Далее на примере аппроксимации функции от двух переменных приводятся структуры нейронных сетей первого и второго типа.

Рассматривается пример аппроксимации функции f= sinc(x,y) = sin(x)sin(y)/(xy) нечеткой моделью Сугено, состоящей из правил R (i=1,.,n) со следующей структурой:

R;: If X is Ai and Y is B; then f = sx+ ty+ r,,

Этот пример расматривался также в [82], где эта функция аппроксимировалась нейро-нечеткой системой ANFIS с 16 правилами по параметрам четырех функций принадлежности по каждой переменной и параметрам правых частей правил с операций конъюнкции and, определяемой как T(x,y) = xy.

В рассматриваемой ниже первом подходе использовалась модель Сугено с тремя фиксированными функциями принадлежности по каждой переменной и с параметрической операцией конъюнкции: T(x,y) = xpyq,