Как видно из приведенных результатов, характеристики нечеткой модели в случае D), когда оптимизируются только операции UG-конъюнкции, даже лучше, чем характеристики нечеткой модели в случае С), когда использовалась оптимизация функций принадлежности вместе с операциями G-конъюнкции. Оптимизация UG-конъюнкций вместе с функциями принадлежности (случай E)) показывает лучшие результаты на обучающих данных, чем результаты, полученные адаптивной нейро-нечеткой системой вывода ANFIS [82]. Результаты, полученные ANFIS, основаны, как и в случае А), только на оптимизации колоколообразных функций принадлежности. Мы здесь не обсуждаем применяемые методы оптимизации, поскольку все из них дают некоторый локальный оптимум, определяемый не только применяемым методом, но и заданным показателем качества аппроксимации. В общем случае, оптимизация функций принадлежности, по-видимому, должна давать меньшую ошибку аппроксимации, так как основана на сдвиге функции принадлежности и ее модификации, в то время как оптимизация по параметрам операций состоит в модификации значений принадлежности и в их определенном сочетании. В то же время, как говорилось в начале главы, если нечеткие множества, используемые в модели, отражают экспертные знания о моделируемом объекте, то оптимизация только по параметрам операций позволяет сохранять неизменными эти знания.

9. Идентификация нечетких моделей динамических систем

Для идентификации систем используются как нечеткие модели Мамдани так и нечеткие модели Сугено. Традиционно применяется оптимизация этих моделей по параметрам нечетких множеств. Рассмотрим пример оптимизации нечетких моделей Сугено по параметрам операций на задаче идентификации нечеткой модели динамической системы. В качестве примера была взята задача идентификации динамической системы с нелинейной подсистемой, задаваемой разностным уравнением, используемая для тестирования различных подходов к идентификации нечетких систем. Моделируемая система задается следующим разностным уравнением:

у(к+ 1)=0.3у(к)+0.6у(к- \)+f(u(k)),

где у(к) - выход, а и(к) - вход системы в момент времени к. Неизвестная функция f описывается следующим уравнением:

f(u) = 0.6sin(nu)+0.3sin(3nu)+0.1sin(5nu),

где входная переменная u принимает значения в интервале [-1,1].

Ставилась задача моделирования этой неизвестной функции нечеткой моделью Сугено в он-лайн режиме по мере поступления информации о значениях этой функции с изменением момена времени к. Таким образом, модель системы задавалась разностным уравнением

У(к+1)=03 yj+oyoc-ij+fuoc)),

где F - функция, определяемая нечеткой моделью Сугено. Эта модель состояла из семи правил вида:

Ri: If Uis Ai then F =riu+Si, (i=1,2,...,7),

где Ai это нечеткие множества, определенные на множестве значений входной переменной u, U - нечеткая переменная со значениями Ai, ri и si -параметры заключений. В качестве функций принадлежности нечетких множеств были выбраны обобщенные колоколообразные функции принадлежности, задаваемые уравнениями

MA;(u)

u

a

2b

1

так, чтобы они равномерно покрывали область определения входной переменной u. Графики функций принадлежности нечетких множеств, применявшихся в нечеткой модели, приведены на рис. 28. Эти функции принадлежности определялись следующими значениями параметров: a=0.1667, b =2 для всех функций принадлежности; параметры ci принимали значения: -1, -0.67, -0.33, 0, 0.33, 0.67, 1 для i = 1,...,7 соответственно.

Рис. 28. Функции принадлежности нечетких множеств в задаче идентификации динамической системы

В процессе логического вывода применялись операции импликации, использующие следующие параметрические обобщенные операции конъюнкции: T(w,F)=wpFq, где w = MAt (u) и F=Fi (i=1,...,7). Значение,

получаемое на выходе нечеткой модели, вычисляется как среднее взвешенное значений, полученных по правилам:

7

I wjPiFiqi

F = -•

i=1

Суммарное число оптимизируемых параметров модели pi, qi, ri и si, использовавшихся при идентификации системы, равно 28.

В процессе обучения в течение £=250 моментов времени на вход системы и модели подавался следующий сигнал: