Простейшие параметрические конъюнкции могут рассматриваться также как модификаторы нечетких множеств. В этом случае операцию T(x,y)= xpyq можно рассматривать как композицию операции конъюнкции TP(x,y)= xy и модификаторов gi1(x) = xp, gi2(x) = xq, модифицирующих значение функции принадлежности. Такие модификаторы функций принадлежности рассматривались в теории нечетких множеств.

t3=(x*y)p*(x+y-x*y)c;, р=02 q=Q6

t3=(x*y)p*(x+y-x*y)q, р=0.6, q=4

t3=(x*y)p*(x+y-x*y)q, р=2, q=4

У

8. Пример аппроксимации функции нечеткими моделями

Рассматривается задача аппроксимации функции

Л2

f (х, у, Z) =

1 + Vx + - + • 1

у

определенной на [1,6]х [1,6]х [1,6] нечеткой моделью Сугено с 8 правилами:

R1: If Xis A1 and Y is B1 andZ is C1 then u1 = s11 x+ s12y+ s13z+t1, R2: If Xis A1 and Y is B1 andZ is C2 then u2 = s21 x+ s22y+ s23z+t2, R3: If Xis A1 and Y is B2 andZ is C1 then u3 = s31 x+ s32y+ s33z+t3,

R8: If Xis A2 and Y is B2 andZ is C2 then u2 = s81 x+ s82y+ s83z+t8.

Каждой нечеткой входной переменной X, Y и Z соответствуют два нечетких терма (Ab A2}, (Bb B2} и (Q, C2}, которые задаются колоколообразной функцией принадлежности:

A( x) = - 1

1 +

1 x - ел

V a J

В качестве связки and используется G-конъюнкция T(x,y) =xpyq.

Исходные значения параметров колоколообразных функций принадлежности равны a=2.5, b=2.5, c=1 для A1, B1, C1 и a=2.5, b=2.5, c=6 для A2, B2, C2. Начальные значения параметров операций и правых частей правил равны 1. Сила срабатывания правил Ri вычисляется так:

Wi

= Al(x)p(l)-Bl (y)q(l)-Q (z)r(l), (i=1,...,8),

где каждая Ai, Bi, Ci принимает одно из двух возможных значений A1, A2, B1 , B2, C1 ,C2 соответственно.

Для настройки параметров использовались 216 обучающих данных и 125 контрольных данных, равномерно выбранных из входных диапазонов [1,6]х[1,6]х[1,6] и [1.5,5.5]х[1.5,5.5]х[1.5,5.5] соответственно. Применялся следующий показатель качества аппроксимации:

APE=• 100%,

где P число пар данных, а T(i) и O(i) это i-й желаемый и предсказанный выход, соответственно.

На рис. 27 приводятся кривые ошибок для нечетких моделей, полученных после оптимизации следующих параметров:

A) параметры функций принадлежности и правых частей правил (100 шагов итерационной процедуры, использовалась конъюнкция T(x,y)=xy);

C)параметры варианта A (30 шагов), а затем параметры операций T(x,y)= xpyq, (p,q> 0) и правых частей правил (70 шагов);

D)параметры операций T(x,y)= xpyq, (p,q - любые вещественные числа) и правых частей правил (100 шагов);

E)вариант A (30 шагов), а затем вариант D (70 шагов).

Во всех случаях использовалась оптимизация параметров в течение 100 шагов по 10*m итераций, где m - общее число оптимизируемых в конкретном варианте параметров.

1.2

20304050607080901 00

Рис. 27. Ошибки аппроксимации функции f(x,y,z) = (1+ x05+y 1+ z "15)2 моделью Сугено, при оптимизации по различным группам параметров