Монотонность T следует из монотонности T\, f, g и h. Доказательство для S аналогично.

Очевидно, что вместо T и S можно использовать конъюнкции и дизъюнкции, рассмотренные выше. Результаты предыдущего раздела могут быть распространены на новые операции следующим образом.

Теорема 7.4. Пусть T1, T2 суть G-конъюнкции, Si, S2 суть псевдодизъюнкции, g1, g2:[0,1]-»[0,1] суть неубывающие функции такие, что g1(1) = g2(1) = 1, тогда следующие выражения

T(x,y) = T2(T1(x,y), S1(g1(x),g2(y))),

T(x,y) = T2(T1(x,y), g1(S1(x,y))), T(x,y) = T2(T1(x,y), S2(h(x),S1(x,y))),

определяют G-конъюнкции:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Монотонность T во всех выражениях следует из монотонности функций, используемых в правых частях выражений. Если x= 0 или y= 0, то T1(x,y) = 0 и, следовательно, T(x,y)= 0. Если x= y= 1 то T1(1,1) = 1, все S1, g1, g2 равны 1, из (27) следует также, что S2= 1 и, следовательно, во всех выражениях выполняется T(x,y)= T2(1,1)= 1.

Новое определение конъюнкции и дизъюнкции дает возможность построения простейших параметрических классов этих операций, в частности, простейшими G-конъюнкциями являются следующие функции:

T(x,y) = min(xp,yq), T(x,y) =xpyq, T(x,y) =(xy)p(x + y - xy) q.

Поверхности этих функций для различных значений параметров p и q приведены на рис. 24 - 26.

С целью расширения класса функций, применяемых в нечетком моделировании, и, как следствие, увеличения гибкости нечетких моделей может быть использовано дальнейшее обобщение понятия конъюнкции. В частности, в простейшем параметрическом классе обобщенных нечетких конъюнкций T(x,y) = xpyq вместо рассмотрения только положительных значений параметров p и q можно рассматривать любые вещественные значения. Так как параметры p и q могут сейчас быть и отрицательными, будем предполагать, что функции принадлежности, используемые в правилах нечеткой модели, имеют только положительные значения. Это свойство выполняется для функций принадлежности, представляемых колоколообразными и гауссовскими функциями принадлежности. Оно также выполняется для треугольных и трапециевидных функций принадлежности, которые принимают нулевые значения за пределами области определения входных переменных.

Для этой функции выполняется только одно свойство рассматриваемых выше операций конъюнкции: T(1,1)= 1. Более того, функция T(x,y)= xpyq, где p,q - любые вещественные числа и x,ye(0,1], может принимать любые положительные значения, а не только значения из [0,1]. Для простоты будем называть эту функцию как [/G-конъюнкцию. Конечно, эта функция вряд ли может с полным основанием рассматриваться как «естественное» обобщение операции конъюнкции, тем не менее, она может использоваться для обработки нечетких правил, рассматриваемых как функциональные модели специфического вида.

t1=xp*yq, р=0.6, q=0.2

Следует заметить, что несколько «неправильных» функций использовались успешно в нечетком моделировании. Например, функция sinc(x)=sin(x)/x с отрицательными значениями рассматривалась как функция принадлежности в [90], а суммирование функций принадлежности с итоговым результатом большим, чем 1, применялось в стандартной аддитивной модели [82, 90].

t2=min(xp,yq), р=0.6, q=0.2

У