x. Если x ф 1 и y ф 1, то T(x,y) = T2(T1(x,y),sD(x,y)) = T2(T1(x,y),0) = 0. Следовательно, T = TD. Таким образом, из s = sB и s = sD с помощью (17) получим T1 и TD, соответственно. Предположим, варьируя параметр в s, можно построить псевдодизъюнкции sa и sb такие, что sa < sb . Обозначим конъюнкции, полученные по (17) на основе sa и sb, как Ta и Tb, соответственно. Тогда имеем sD < sa < sb < sB, и из монотонности всех функций в (17) следует TD < Ta < Tb < T1.

Как следует из предложения, если построить параметрический класс псевдодизъюнкций s, варьирующих от sD до sB, то, применяя s и T1 = TM в (17), можно варьировать конъюнкции во всем диапозоне от TD до TM. Конечно, типы конъюнкций, генерируемых между TD и TM, будут зависеть от формы s и T2.

Двойственно можно сформулировать следующее предложение.

Предложение 4.8. Пусть / - параметрическая псевдоконъюнкция, варьирующая от /B до /D , и S1 произвольная дизъюнкция, тогда с помощью любой дизъюнкции S2, применяя (18), можно построить дизъюнкции, варьирующие от S1 до SD.

Из этих предложений следует, что для генерации параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций достаточно генерировать подходящий класс псевдоопераций. Этот вопрос рассматривается в следующем разделе.

Предложение 4.9. Пусть /1 и /2 - псевдоконъюнкции, s1 и s2 -псевдодизъюнкции, f1, f2, g1, g2, h:[0,1]-»[0,1] суть неубывающие функции такие, что f 1(0) = f2(0) = 0, g1(1)= g2(1)= 1, тогда следующие функции

/3(x,y) = /1(f1(x), f2(y)),s3(x,y) = s1(g1(x), g2(y)),(19)

/4(x,y) = f1(/1(x,y)),s4(x,y) = g1(s1(x,y)),(20)

/5(x,y) = /2(/1(x,y), h(y)),s5(x,y) = s2(s1(x,y), h(y)),(21)

/6(x,y) = /2(h(x), /1(x,y)),s6(x,y) = s2(h(x), s1(x,y)),(22)

будут псевдоконъюнкциями и псевдодизъюнкциями соответственно.

Доказательство: Из f1(0) = f2(0) = 0, и из выполнения (15) для /1 и /2 получим выполнение (15) для функций / в (19) - (20). Монотонность функций / следует из монотонности /1, /2 , f1, f 2 и h. Доказательство для псевдодизъюнкций аналогично.

Заметим, что из-за возможной некоммутативности функций f1, f2, g1, g2 функции (21) и (22) могут быть различными.

Многократное рекурсивное применение (19) - (22) дает возможность строить различные псевдоконъюнкции и псевдодизъюнкции и затем с помощью теоремы 4.3 и предложения 4.6 - различные конъюнкции и дизъюнкции.

Функции f и g, определенные в предложении 4.9, будут называться f-и g-генераторами, соответственно. Легко увидеть, что посредством любого

отрицания n можно получить из /-генератора некоторый g-генератор и, наоборот:

g(x) = n(f(n(x))),f(x) = n(g(n(x))).

Например, применяя (17) и (19), можно получить конъюнкцию:

T(x,y) = T2(T1(x,y),s(g1(x,p1), g2(y,P2))),

где T2 ,T1 - некоторые конъюнкции, s - псевдодизъюнкция и g1(x,p1), g2(y,p2) - некоторые генераторы, зависящие от параметров p1, p2. Для получения более или менее простых параметрических классов конъюнкций мы можем выбрать T2 , T1 среди t-норм TM, TP , TD, TL , выбрать s среди t-конорм SM, SP, SD, SL и использовать простые функции g1 и g2.

Далее в основном рассматриваются операции конъюнкции. Соответствующие операции дизъюнкции могут быть получены двойственно или из операции конъюнкции с помощью операции отрицания.

Рассмотрим следующие генераторы:

fB (x) = 0 для всех xe[0,1], gB (x) = 1 для всех xe[0,1].

[ 0, если x = 0[1, если x =1

11, если x ф 010, если x ф 1

Очевидно, что для любых f- и g-генераторов выполняется:

fb (x) < f(x) < /d (x) ,gd (x) < g(x) < gb (x) .

Принимая во внимание, что следующие функции

fx(x) = x,gx(x) = x,

также являются генераторами, в (19) - (22) можно заменить генераторы и функции h их аргументами.

Легко видеть, что подставляя t1 = T и s1 = S в (19), получим для произвольной конъюнкции T , дизъюнкции S и для любых генераторов f и g следующие соотношения:

T/b(x), f(y)) = Tf(x),f B(y)) = tB(x,y),

T(fD(x), fD(y)) = tD(x,y),

T(fD(x),y) = ty(x,y),

T(x, fD(y)) = tx(x,y),

S(gB(x),g(y))= S(g(x),gB(y)) = sB(x,y), S(gD(x),gD(y))= sD(x,y), S(gD(x),y)= sy(x,y),

S(x,gD(y)) = sx(x,y).

Принимая эти соотношения во внимание, из предложения 4.7 получим следующий способ построения конъюнкций.

Теорема 4.10. Пусть T\ и T2 - конъюнкции, S - дизъюнкция, g1 и g2 -параметрические классы g-генераторов такие, что один из них варьирует от gD до gB, а другой от gD до некоторого g*, тогда с помощью соотношения

T(x,y) = T2(Ti(x,y),S(gi(x),g2(y)))(23)

мы сможем сгенерировать конъюнкции, варьирующие от TD до T1.

5. Примеры параметрических классов обобщенных конъюнкций

Пример 5.1. Рассмотрим следующие параметрические классы генераторов, зависящих от порога ре [0,1]:

Г0, если x < рГ0, если x < р

f (Xр) = \,, g (x, р) = \, ,

[1, если р < x[1, если р < x

со следующими свойствами:

fB(x) = f(x,1) < р) < f(x,0) = fD (x), gD(x) = g(x,1) < g) < g(x,0) = gB (x).

Для любого T и S выполняется:

Г0, если x < р или y < q [1, в противном случае

П, если р < x или q< y S (g (x, р), g (y, q)) = \0т4 У.

[ 0, в противном случ е

Применяя в (23) T1= TM и генераторы g(x,p) и g(y,q), для произвольных T2 и S получим следующую операцию конъюнкции:

fmin(x, y), если р < x или q< y T (x, y) = <,

[ 0,в противном случ е

и, в частности, T = TD при р = 1, q = 1, и T = TM при р = 0 или q = 0. График этой конъюнкции для р = 0.4, q = 0.8 показан на рис. 12.