Если n инволютивное отрицание, то для любой конъюнкции T и дизъюнкции S =ST, (для любой S и T=TS ) выполняются законы Де Моргана:

n(S(x,y)) = T(n(x), n(y)),n(T(x,y)) = S(n(x), n(y)).

Ниже вводятся две функции, которые будут использоваться для генерации конъюнкции и дизъюнкции.

Определение 4.2. Функции t,s:[0,1]x[0,1]-»[0,1] такие, что для всех x,ye [0,1] выполняются следующие свойства:

t(0,x) = t(x,0) = 0,s(1,x) = s(x,1) = 1,(15)

t(x,y) < t(u,v) и s(x,y) < s(u,v), если x < u, y < v,(16)

соответственно будут называться псевдоконъюнкцией и псевдодизъюнкцией.

Очевидно, что любая конъюнкция (дизъюнкция) будет псевдоконъюнкцией (псевдодизъюнкцией).

Теорема 4.3. Пусть T1, T2 - конъюнкции, t - псевдоконъюнкция, S1 и S2 - дизъюнкции и s - псевдодизъюнкция, тогда следующие функции

T3(x,y) = T2(T1(x,y),s(x,y)),T4(x,y) = T2(s(x,y),T1(x,y)),(17)

S3(x,y) = S2(S1(x,y), t(x,y)),S4(x,y) = S2(t(x,y), S1(x,y)),(18)

соответственно будут конъюнкцией и дизъюнкцией.

Доказательство: T3(x,1) = T2(T1(x,1),s(x,1)) = T2(x,1) = x; T3(1,y) = T2(T1(1,y),s(1,y)) = T2(y,1) = y. Монотонность T3 следует из монотонности T1, T2 и s. Аналогично показывается, что T4 - конъюнкция, а S3, S4 -дизъюнкции.

В общем случае, ввиду некоммутативности (псевдо-) конъюнкций и (псевдо-) дизъюнкций, левые и правые формулы в (17), (18) определяют разные функции. Однако ясно, что свойства «левосторонних» и «правосторонних» функций (17), (18) аналогичны, поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только один из вариантов возможных функций.

Конъюнкции (17) обладают следующими свойствами.

Предложение 4.4.

T(TD, s) = TD для любых конъюнкций T и псевдодизъюнкций s; TD(T, s) = TD для любых конъюнкций T и псевдодизъюнкций s

таких, что s(x,y) < 1, если x,y < 1; TM(T, S) = T для любых конъюнкций T и дизъюнкций S; T(TM, Sm) = T для любых коммутативных конъюнкций T; TL(T, S) = TL для всех пар (T,S) oператоров (TM, Sm), (Tp ,Sp), и

(Tl, Sl).

Доказательство: Из (15) и теоремы 4.3 следует, что достаточно рассмотреть случаи, когда x,y < 1.

T(TD(x,y),s(x,y)) =T(0,s(x,y)) = 0 = TD(x,y).

TD(T(x,y),s(x,y)) = 0 =TD(x,y), так как T(x,y)< min(x,y) < 1 и s(x,y) < 1 для

x,y < 1.

Из (12) имеем TM(T(x,y), S(x,y)) = min(T(x,y),S(x,y)) = T(x,y). Из коммутативности T следует T(TM(x,y),SM(x,y)) = T(min(x,y),max(x,y))= T(x,y).

Покажем, что TL(T(x,y),S(x,y)) = max(0,T(x,y) + S(x,y) - 1) = TL(x,y). Достаточно показать, что T(x,y) + S(x,y) = x + y для всех рассматриваемых пар операторов T, S. TM(x,y) + SM(x,y) = min(x,y) + max(x,y) = x + y. TP(x,y) + SP(x,y) = xy + x + y - xy = x + y. TL(x,y) + SL(x,y) = max(0, x + y - 1) + min(1, x+ y) = x+y для обоих возможностей x + y < 1 и x + y > 1.

Аналогично доказываются следующие свойства дизъюнкций (18). Предложение 4.5.

для всех псевдоконъюнкций / и дизъюнкций S; для всех дизъюнкций S и всех псевдоконъюнкций / таких, что t(x,y) > 0, если x,y > 0; для всех конъюнкций T и дизъюнкций S; для всех коммутативных дизъюнкций S; для всех пар (T,S) операторов (TM, SM), (TP, SP) и (Tl , Sl).

Как это следует из теоремы 4.3, операции конъюнкции и дизъюнкции могут строиться из хорошо известных /-норм и /-конорм используемых как (псевдо-) конъюнкции и (псевдо-) дизъюнкции. Но для получения новых операторов необходимо учитывать предложения 4.4 и 4.5. Например, из TM, TP, SM, SP могут быть получены следующие коммутативные операции конъюнкции и дизъюнкции, связанные друг с другом законами Де Моргана с отрицанием Заде:

T(x,y) = (x+y - xy)min(x,y),S(x,y) = max(x,y)+xy - max(x,y)xy,

T(x,y) = max(x,y)xy, S(x,y) = min(x,y)+x+y - xy - min(x,y)(x+y - xy), T(x,y) = xy(x+y - xy),S(x,y) = x+y - xy(x+y - xy).

Для получения более интересных параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций можно использовать в (17) и (18) псевдоконъюнкции и псевдодизъюнкции, отличные от /-норм и /-конорм.

Предложение 4.6. Если n отрицание на [0,1], а /, s - некоторые псевдоконъюнкция и псевдодизъюнкция, тогда следующие соотношения определяют, соответственно, псевдодизъюнкцию и псевдоконъюнкцию:

Доказательство: st(x,\) = n(t(n(x),n(X))) =n(t(n(x),0)) = n(0) = 1. Аналогично получим s(1,x) =1. Так как t монотонно возрастает по обоим аргументам, и n монотонно убывающая функция, мы получаем свойство монотонности для st. Доказательство для ts аналогично.

Заметим, что если в (11) отрицание n инволюция, то псевдосвязки t и s= st, s и t = ts будут взаимно связаны законом Де Моргана. Мы будем рассматривать следующие пары псевдосвязок, взаимно связанных отрицанием n(x) = 1 - x :

tB(x,y) = 0 для всех x,y е [0,1], sB (x,y) = 1 для всех x,y е [0,1].

1, если (x,y) е (0,1] х (0,1] [0, в противном случае г0, если (x,y) е [0,1) х [0,1) 1, в противном случае

[0, если y = 0 x, если y ф 0

[1, если y = 1 y, если y ф 1

ty (x, y)

[0, если x = 0 y, если x ф 0

[1, если x = 1 y, если x ф 1

Пусть t - псевдоконъюнкция, а s - псевдодизъюнкция. Легко показать, что для всех x,ye [0,1] выполняется:

tB (x,y) < t(x,y) < tD(x,y),SD(x,y) < s(x,y) < SB(x,y).

Любая псевдоконъюнкция t отличается от любой псевдодизъюнкции s по крайней мере в двух точках (0,1) и (1,0), так как:

t(0,1) = t(1,0) = 0,s(0,1) = s(1,0) = 1.

Предложение 4.7. Пусть s - некоторая параметрическая псевдодизъюнкция, варьирующая от sD до sB, и T1 - произвольная конъюнкция, тогда с помощью любой конъюнкции T2, применяя (17), можно построить конъюнкции, варьирующие от TD до T1.

Доказательство: Из (17) имеем: T2(T1(x,y),sB(x,y)) = T2(T1(x,y), 1) = T1(x,y). Обозначим T(x,y) = T2(T1(x,y),sD(x,y)). Если x = 1, тогда T(1,y) = T2(T1(1,y),sD(1,y)) = T2(y,1) = y. Если y = 1, то аналогично получим T(x,1) =