S (x, y)

x + y + (А - 2) xy

1 + (А -1) xy

S(x,y) = SD(x,y), S(x,y) = 1,

если Ае(0,о) и (Ау) (0,1,1),

если А = о, если А= 0 и x = y = 1.

t-нормы Хамахера являются непрерывными, архимедовыми и строгими на [0,о). Аддитивным и мультипликативным генераторами t-норм Хамахера являются функции:

п -

f (x)

x

x

log

А + (1 - А) x

если А = 0

, если Ае (0,о)

Г x-1

x

[А + (1-А) x

если А = 0 если А е (0, о)

t-нормы и t-конормы Швайцера-Скляра (Ае [-о, о]):

T (x y) T(x,y) = TM(x,y), T(x,y) = TP(x,y), T(x,y) = TD(x,y),

(max + уА

1),0) )А-

если Ае(-о,0)и(0,о),

если А = -о, если А = 0, если А = о.

S (x, y) = 1 -S(x,y) = SM(x,y), S(x,y) = SP(x,y), S(x,y) = SD(x,y),

(max(((1 - x/ (1 - y )А- 1),0))А,

если Ае(-оо,0)и(0,<ю),

если А = -о, если А = 0, если А = о.

t-нормы Швайцера-Скляра являются непрерывными и архимедовыми настрогими на (-о,0], нильпотентными на (0,о). Аддитивным и

мультипликативным генераторами t-норм Швайцера-Скляра являются функции:

x

f (x)

- log x, 1 - xX

x,

xx-1 . Я

если Л = 0

если Л е (-м,0) и (0, м) если Л = 0

если Л е (-м,0) и (0, м)

f-нормы и f-конормы Ягера (Ле [0, оо]):

T (x, y) = max(1 - ((1 - x)X + (1 - y )Л)Л ,0),

T(x,y) = TD(x,y), T(x,y) = TM(x,y),

S (x, y) = min(( xX+ ул )л,1), S(x,y) = SD(x,y), S(x,y) = SM(x,y),

если Ле(0,м),

если Л = 0, если Л = со.

если Ле(0,со),

если = 0, если = с .

t-нормы Ягера являются непрерывными и архимедовыми на (0,с), нильпотентными на (0,с). Аддитивным и мультипликативным генераторами t-норм Ягера являются функции:

f (x) = (1 - x/, ((x) = ex)X .

f-нормы и -конормы Майора-Торренса (Ле [0,1]):

T(x, y)

S (x, У):

[max(x + y - Л,0), если Л е (0,1] и (x, y) е [0, Л] х [0, Л] [min(x, y),если Л = 0 или x > Л или y > Л

[min(x + y + Л-1,1), если Л е (0,1] и (x,y) е [1 - Л,1]х[1 - Л,1] max(x,y),если Л = 0 или x < 1 -Лили y < 1 -Л

t-нормы Майора-Торренса являются непрерывными на [0,1], архимедовыми и нильпотентными при = 1. Аддитивным и мультипликативным генераторами t-норм Майора-Торренса являются функции:

f(x) = 1 - x,

4. Обобщенные операции конъюнкции и дизъюнкции

В первом разделе ставилась задача построения простых параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций, пригодных для оптимизации нечетких моделей по параметрам этих операций. Как это видно из предыдущего раздела, параметрические классы /-норм и /-конорм достаточно сложны для их использования в задачах оптимизации нечетких моделей. В этом и последующих разделах нас будут интересовать методы построения простых параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций, варьирующих в определенном диапазоне и удобных для их использования в задачах оптимизации нечетких моделей. Все методы генерации t-норм и /-конорм, рассмотренные в разделе 2, основаны на использовании (псевдо-) обратных функций от генераторов. Это и является причиной сложного вида генерируемых операций. В то же время, как это следует из теории ассоциативных функций, рассмотренные выше методы представления /норм и /-конорм, как функций, генерируемых аддитивными или мультипликативными генераторами, являются общим свойством ассоциативных функций. Следовательно, для получения простых параметрических классов конъюнкций и дизъюнкций необходимо рассматривать неассоциативные операции.

Определение 4.1. Операциями конъюнкции T и дизъюнкции S называются функции T,S:[0,1]x[0,1][0,1] такие, что для всех x,ye[0,1] выполняются следующие свойства:

Ясно, что любые /-норма и t-конорма соответственно являются конъюнкцией и дизъюнкцией. Очевидны следующие свойства введенных операций.

Аналог предложения 2.12 также имеет место для определенных выше конъюнкций и дизъюнкций, а именно, если n - строгое отрицание, а T, S -конъюнкция и дизъюнкция, то с их помощью можно определить соответственно дизъюнкцию ST и конъюнкцию TS:

T(x, 1) = T(1,x) = x,S(x,0) = S(0,x) = x,

T(x,y) < T(u,v) и S(x,y) < S(u,v), если x < u, y < v.

(9)

(10)

T(0,x) = T(x,0) = 0,S(1,x) = S(x,1) = 1,

TD (x,y) <T(x,y) <Tm (x,y) < Sm (x,y) <S(x,y) <Sd (x,y).

(11) (12)

ST(x,y) = ril(T(n(x), n(y))), TS(x,y) = nl(S(n(x), n(y))).

(13) (14)