ГЛАВА 1. ОПЕРАЦИИ ЗАДЕ И АЛГЕБРЫ КЛИНИ 1. Операции Заде

Обычному подмножеству A универсального множества X можно поставить в соответствие его характеристическую функцию

, ч \1, если x е A XA (x )=<.

[0, в противном случае

Операциям пересечения, объединения и дополнения множеств взаимно однозначным образом ставятся в соответствие операции над их характеристическими функциями, определяемые поэлементно (для всех xeX):

(Xan%b)(x)=Xa(x)Xb(x),

(Za Zb)(x)=Za(x)vZb(x), (Za)(x) = -Za(x),

где л, v и - - булевы функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания такие, что

0л0= 0; 0л1=0; 1л0= 0, 1л1=1; 0v0=0; 0v1=1; 1v0= 1; 1v1=1; -0= 1, -1=0.

Для отношения включения множеств выполняется: AcB тогда и только тогда, когда zA(x)<ZB(x) для всех x еХ.

Таким образом, понятие множества можно заменить понятием характеристической функции, вместо булевой алгебры множеств рассматривать булеву алгебру характеристических функций и т.д.

Понятие нечеткого множества введено как обобщение понятия характеристической функции множества. Нечеткое подмножество A универсального множества X задается функцией принадлежности jua:X-L, где L = [0,1]. Для каждого xeX величина jUA(x) интерпретируется как степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A. Существуют и другие интерпретации функции принадлежности. Нечеткое множество обычно имеет некоторую лингвистическую метку, соответствующую содержательной интерпретации самого нечеткого множества. Например, если X = [0,120] - множество числовых значений возраста, то на X могут быть определены нечеткие множества с лингвистическими метками

МОЛОДОЙ, СТАРЫЙ, ОЧЕНЬ СТАРЫЙ и т.д. На Рис. 1. показаны возможные способы представления понятия МОЛОДОЙ с помощью характеристической функции множества и функции принадлежности нечеткого множества.

X

20 40

100 120

20 40 60 80 100 120

а)б)

Рис. 1. а) Характеристическая функция обычного множества б) Функция принадлежности нечеткого множества

В отличие от обычного множества нечеткое множество позволяет учитывать степени принадлежности понятиям-классам, не имеющим четких границ, которые характерны для человеческого мышления. Вопросы интерпретации и задания функций принадлежности исследуются во многих работах и здесь не рассматриваются. Заметим лишь, что при нечетком моделировании систем, задаваемых набором экспериментальных данных, функции принадлежности могут изначально определяться достаточно произвольно в виде треугольных, трапециевидных, гауссовских и др. типа параметрических функций принадлежности, которые в дальнейшем могут настраиваться для уменьшения ошибки рассогласования между нечеткой моделью и моделируемой системой.

При исследовании алгебраических свойств нечетких множеств удобно отождествлять их с функциями принадлежности, поэтому там, где это не будет вызывать недоразумений, под нечетким множеством A будет пониматься сама функция принадлежности A:X-L, и величина A(x) будет интерпретироваться как степень принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Операции над нечеткими множествами задаются аналогично операциям над характеристическими функциями поэлементно:

(AnB) (x) =A(x)/\B(x), (A uB) (x) =A(x)vB(x),

( M)(x) = -A(x).

В качестве операций конъюнкции, дизъюнкции и отрицания на [0,1] Заде предложил следующее обобщение булевых функций:

xKy= min(x,y), xvy = max(x,y),

- x = 1- x.

В общем случае операции и отношения на множестве нечетких множеств определяются также поэлементно с помощью операций и отношений на элементах из X. В частности имеем

A = B тогда и только тогда, когда A(x) = B(x) для всех x eX, A сВ тогда и только тогда, когда A(x) <B(x) для всех x eX.

Как обычно, пишут A ccB, если АсВ и АфВ. Очевидно, что отношение включения нечетких множеств является отношением частичного порядка, т. е. удовлетворяет условиям:

Ac A(рефлексивность),

из A сB и B сA следует A = B(антисимметричность),

из A сB и B сC следует A сC(транзитивность).

Пусть F(X) - множество всех нечетких подмножеств множества X. Обозначим U следующие нечеткие множества: 0(x) = 0 и U(x) = 1 для всех x eX. 0 и U являются соответственно наименьшим и наибольшим элементами по отношению частичного порядка .

Нетрудно убедиться, что введенные операции удовлетворяют на F(X) следующим тождествам:

AnA = A,AuA = A

AnB = BnA,A uB =B uA

An(BnC) = (AnB)nC, A u(BuC) =(A uB) uC

An(A uB) = A, A u(AnB) =A

An(BuC)=(AnB) u(AnC),

A u(BnC)=(A uB)n(A uC)

1(1 A) = A

l(AnB) = 1A ulB,1(A uB) = lAnlB

An0= 0, Au0=0, AuU=U, AnU=A

(идемпотентность), (коммутативность), (ассоциативность), (поглощение),

(дистрибутивность), (инволютивность), (законы Де Моргана), (граничные условия).