Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[19]

Таким образом, все непрерывные строгие t-нормы и t-конормы изоморфны, соответственно, произведению и вероятностной сумме.

Пусть T - t-норма, S - t-конорма, n1 и n2 - операции отрицания. Рассмотрим законы Де Моргана:

n1(S(x,y))= T(n1(x),n1(y)),(7)

n2(T(x,y)) = S(n2(x),n2(y)).(8)

Предложение 2.12. Пусть n - строгое отрицание.

а)Для любой t-нормы T существует t-конорма S, определяемая соотношением

S(x,y)= n 1(T(n(x),n(y))J,

удовлетворяющая (7) с n1 = n. Если T - непрерывная t-норма, то S-непрерывная t-конорма. Если T - архимедова с аддитивным генератором f, то S - архимедова с аддитивным генератором g= f °n и g(1) = f (0).

б)Для любой t-конормы S существует t-норма T, определяемая соотношением

T(x,y)= n -1(S(n(x),n(y))),

удовлетворяющая (8) с n2 = n. Если S - непрерывная t-конорма, то T -непрерывная t-норма. Если S - архимедова t-конорма с аддитивным генератором g, то T - архимедова t-норма с аддитивным генератором f = g ° n и f (0) = g(1).

Определение 2.13. Триплетом Де Моргана называется тройка (T, S, n), где T - t-норма, S - t-конорма и n - строгое отрицание, такие, что для всех xe[0,1] выполняется (7) с n1 = n. Триплет Де Моргана называется непрерывным, если T и S - непрерывные функции.

Триплет Де Моргана (T, S, n) называется сильным или типа Лукасевича, если существует автоморфизм < интервала [0,1] такой, что

T(x,y)= (p~l(max{(p(x)+(p(y)-1, 0}), S(x,y)= <p-\min{<p(x)+(p(y), 1}), n(x) = ( -1(1 - ( (x)).

Триплет Де Моргана (T, S, n) называется строгим или типа произведения, если существует автоморфизм ( интервала [0,1] такой, что

T(xy)= РХФХ Ф)\ S(x,y)= (pl(((x)((y) - ((x)•((y)), n(x) = ( -1(1 - ( (x)).


Предложение 2.14. Если p- автоморфизм интервала [0,1], а T1 и S1 t-норма и t-конорма соответственно, то следующие формулы

T(x,y) = p -1 (T1(p(x),p(y))), S(x,y) = p-x(S1(p(x),p(y))),

определяют t-норму T и t- конорму S, соответственно.

3. Параметрические классы t-норм и t-конорм

Приведем примеры параметрических классов t-норм и t-норм. t-нормы и t-конормы Домби (Ае [0, со]):

T (x, y)

1

1 +

f

f 1" x ]

А

Г1 - y ]

+

V

V x J

VyJ

J

T(x,y) = TD(x,y), T(x,y) = TM(x,y),

если Ае(0, о),

если А = 0, если А = о.

S (x, y) = 1 -

1 +

S(x,y) = SD(x,y), S(x,y) = SM(x,y),

x

1 - x J

y

+

1-y

А

если Ае(0, о),

если А = 0, если А = о.

t-нормы Домби являются непрерывными, архимедовыми и строгими на (0,о). Аддитивным и мультипликативным генераторами t-норм Домби на (0,о) являются функции:

f (x)

1 - А

V x J

p( x) = e

1-x x

1


f-нормы и f-конормы Франка (Ле [0, м]):

T(x,y) = TM(x,y), T(x,y) = Tp(x,y), T(x,y) = TL(x,y),

S (x, y) =1 - logX

S(x,y) = SM(x,y), S(x,y) = Sp(x,y), S(x,y) = Sb(x,y),

-1

1 +

(л1-x - i[A-y -1)"

Л-1

еслиЛе(0,1)и(1,оо),

еслиЛ = 0, если = 1,

еслиЛ = оо.

еслиЛе(0,1)и(1,оо),

если = 0, если = 1, если = о .

t-нормы Франка являются непрерывными, архимедовыми и строгими на (0,оо). Аддитивным и мультипликативным генераторами t-норм Франка являются функции:

- log x, f (x) = \1 - x,

log-

Л -1

если Л = 1 если Л = м

если Л е (0,1) и (1, со)

x,

x-1

Xx -1 I л- 1,

если Л = 1 если Л = м

если Л е (0,1) и (1, м)

f-нормы и f-конормы Хамахера (Ле [0, со]):

T (x, y) =-xy-,

Л + (1 - Л)(x + y - xy)

T(x,y) = TD(x,y), T(x,y) = 0,

если Ле[0,м)и (X,x,y) (0,0,0),

если Л = со,

если Л = x = y = 0.



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33]