Определение 2.2. /-норма T и t-конорма S называются непрерывными, если эти функции являются непрерывными на их области определения, и они называются архимедовыми, если для всех xe(0,1) удовлетворяют, соответственно, следующим условиям:

T(x,x) < x,x < S(x,x).

Минимум и максимум являются непрерывными, но не архимедовыми, сильные произведение и сумма являются архимедовыми, но не непрерывными. Произведение, вероятностная сумма и операции Лукасевича являются непрерывными и архимедовыми.

t-нормы и t-конормы как функции, удовлетворяющие свойству ассоциативности, могут быть построены различным способом. Приведем без доказательств ряд теорем представления t-норм и t-конорм.

Теорема 2.3. t-норма T является непрерывной и архимедовой тогда и только тогда, когда существует строго убывающая и непрерывная функция /: [0,1][0,оо], f(1) = 0, такая, что

T(x,y)=fiA)(f(x)+f(y)),(3)

где f есть псевдообратная функция для f, определяемая как

f x)

f 1 (x), если x < f (0)

0,в противном случае

Более того, представление (3) однозначно с точностью до положительной мультипликативной константы.

В условиях теоремы f называется аддитивным генератором t-нормы T, о которой, в свою очередь, говорят, что она генерируется с помощью f. Аддитивным генератором t-нормы Лукасевича является функция f(x) = 1- x с псевдообратной функцией f ( 1)(x) = max{1 - x, 0}. Генератором произведения является функция f(x) = - log(x).

Теорема 2.4. t-конорма S является непрерывной и архимедовой тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая и непрерывная функция g: [0,1][0,°o], g(0) = 0, такая, что

S(x,y)= g {A)(g(x)+g(y)),(4)

где g(-1) есть псевдообратная функция для g, определяемая как

g x)

g 1(x), если x < g(1)

1,в противном случае

Более того, представление (4) однозначно с точностью до положительной мультипликативной константы.

В условиях теоремы g называется аддитивным генератором t-конормы S, о которой, в свою очередь, говорят, что она генерируется с помощью g. Аддитивным генератором t-конормы Лукасевича является функция g(x)= x с псевдообратной функцией g 1)(x) = min{x, 1}. Генератором вероятностной суммы является функция f(x) = - /og(1 - x).

Определение 2.5. t-норма T имеет делители нуля, если существуют x,ye(0,1) такие, что T(x,y) = 0. Tназывается положительной, если из x,y > 0 следует T(x,y) > 0. t-конорма S называется нильпотентной, если существуют x,ye(0,1) такие, что S(x,y) = 1. T и S называются строгими, если они строго возрастающие по каждому аргументу на (0,1)х(0,1).

Очевидно, что минимум и произведение являются положительными t-нормами, в то время как сильное произведение и t-норма Лукасевича имеют делители нуля. Из этих t-норм единственной строгой t-нормой является произведение. Нетрудно увидеть, что непрерывная архимедова t-норма положительна тогда и только тогда, когда она строгая.

Аналогично, сильная сумма и t-конорма Лукасевича нильпотентны. Из рассмотренных выше примеров t-конорм только вероятностная сумма является строгой.

Предложение 2.6. Непрерывная архимедова t-норма T с аддитивным генератором f имеет делители нуля тогда и только тогда, когда f(0) < +°о, и T - строгая тогда и только тогда, когда f(0)=/imx0 f(x)= +°о.

Предложение 2.7. Непрерывная архимедова t-конорма S с аддитивным генератором g является нильпотентной тогда и только тогда, когда g(1) < +°о, и S- строгая тогда и только тогда, когда g(1)=/imx1 g(x)= +°о.

Далее биективные отрицания будут называться также строгими отрицаниями.

Теорема 2.8. Непрерывная t-норма T удовлетворяет условию T(x,n(x))= 0 для всех xe[0,1], где n - строгое отрицание на [0,1], тогда и только тогда, когда существует автоморфизм интервала [0,1] такой, что

T(x,y)= <p~1(max{<p(x)+<p(y)-1, 0}),

и

n(x) <<-1(1 - <p(x)).

Теорема 2.9. Непрерывная t-конорма S удовлетворяет условию S(x,n(x))= 1 для всех xe[0,1], где n - строгое отрицание, тогда и только тогда, когда существует автоморфизм p интервала [0,1] такой, что

S(x,y)= pl(min{p(x)+p(y), 1}),

и

n(x) > p-1(1 - px)).

Таким образом, все непрерывные t-нормы, для которых выполняется закон противоречия T(x,n(x))= 0, и все непрерывные t-конормы, для которых выполняется закон исключенного третьего S(x,n(x))= 1, изоморфны, соответственно, t-норме и t-конорме Лукасевича:

T(x,y)= p~l(TL(p(xx фш

S(x,y)= p~l(SL(p(x),p(y))),

Заметим, что закону противоречия удовлетворяют t-норма Лукасевича и сильное произведение, а закону исключенного третьего удовлетворяют t-конорма Лукасевича и сильная сумма.

Теорема 2.10. Непрерывная t-норма Tявляется строгой тогда и только тогда, когда существует автоморфизм р интервала [0,1] такой, что

T(x,y)= p-!(p(x)-p(y)).(5)

t-норма T в (5) представлена в мультипликативной форме. Более обще, мультипликативным генератором t-нормы T называется строго возрастающая функция p:[0,1]-»[0,1] такая, что p -непрерывна справа в 0, p1) = 1, px)-p(y)eRan(p)u[0,p0)], где Ran(p) - область значений р, и выполняется

T(x,y)= p(-1)(px)-p(y)).

Теорема 2.11. Непрерывная t-конорма S является строгой тогда и только тогда, когда существует автоморфизм p интервала [0,1] такой, что

S(x,y)= p-\p(x)+p(y) - px)p(y)).(6)

Соотношения (5) и (6) могут быть представлены в виде:

T(x,y)= p"1(TP(p(xX ФШ

S(x,y)= p"1(SP(p(x),p(y))),