Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[17]

Легко увидеть, что ассоциативность операции конъюнкции не требуется, когда посылки правил содержат только по 2 переменные и используются разные операции конъюнкции T и T2. В общем случае, когда позиции переменных в посылках правил и процедура вычисления силы срабатывания правил фиксированы, ни условия ассоциативности, ни условия коммутативности операции конъюнкции не являются необходимыми. В этом случае конъюнкция нескольких аргументов может вычисляться последовательно в соответствии с заданным порядком переменных. Более того, некоммутативность и неассоциативность операций может быть желательна в ряде случаев. Например, если x и y означают «ошибка» и «изменение ошибки» соответственно, как это и бывает в системах нечеткого управления, тогда некоммутативность и неассоциативность конъюнкции может использоваться для учета различного влияния этих переменных на управляемый процесс. Таким образом, если коммутативность конъюнкции подразумевает равенство прав обоих операндов, то некоммутативность конъюнкции с фиксированным положением операндов дает возможность построения контекстно-зависимых операций. Мы можем предположить также, что параметрические операции T и T2. могут быть «зависимы от правил», что дает возможность отдельной настройки параметров этих операций для правил, относящихся к разным частям управляемого процесса, например, к точкам с максимальной или нулевой ошибкой и т.д.

В этой главе основное внимание уделяется неассоциативным операциям конъюнкции и их приложениям к задачам нечеткого моделирования. Понятия t-норм и t-конорм в настоящее время достаточно хорошо изучены, и в следующем разделе приводятся лишь основные сведения о них. В последующих разделах дается определение некоммутативных и неассоциативных операций конъюнкции и дизъюнкции и предлагаются различные способы генерации новых типов нечетких связок. Приводятся примеры параметрических операций конъюнкции, более простых, чем известные параметрические классы t-норм. В качестве примеров нечеткого моделирования рассматриваются задачи аппроксимации данных системами нечеткого вывода, основанные на оптимизации параметров неассоциативных операций конъюнкции.


2. -нормы и -конормы

Определение 2.1. Триангулярная норма (t-норма) T и триангулярная конорма (t-конорма) S определяются как функции T,S:[0,1]x[0,1]-[0,1] такие, что для всех x, y, ze [0,1] выполняются следующие аксиомы:

T(x,y) = T(y,x),S(x,y) = S(y,x)(коммутативность),

T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z)),S(S(x,y),z) = S(x,S(y,z))(ассоциативность).

T(x,y) <T(x,z) иS(x,y) <S(x,z), если y <z(монотонность),

T(x,1) = x,S(x,0) = x(граничные условия).

Из определения 2.1 непосредственно следуют следующие граничные свойства этих операций:

T(0,x) = T(x,0) = 0,S(1,x) = S(x, 1) = 1,(1)

T(1,x) = x,S(0,x) = x(2)

t-норма и t-конорма в определенном смысле являются двойственными понятиями. Эти функции могут быть получены друг из друга, например, с помощью инволютивного отрицания n и законов Де Моргана следующим образом:

S(x,y) = n(T(n(x),n(y))), T(x,y) = n(S(n(x),n(y))).

Простейшими примерами t-норм и t-конорм, взаимно связанных этими соотношениями для n(x) = 1 - x, являются следующие:

TM(x,y) = min{x,y}(минимум),

SM(x,y) = max{x,y}(максимум),

TP(x,y) = x-y(произведение),

SP(x,y) = x + y - x-y(вероятностная сумма),

TL(x,y) = max{x+y -1, 0}(t-норма Лукасевича),

SL(x,y) = min{x+y, 1} (t-конормаЛукасевича, ограниченная сумма),

(сильное произведение),

[0,если (x,y) e [0,1) x [0,1)

[rnm(x, y), в противном случае S ( ) [1,если (x,y) e (0,1] x (0,1]

Sd(x, y) = <(сильная сумма).

[max(x, y), в противном случае


Эти простейшие функции будут в дальнейшем использованы для построения параметрических операций конъюнкции и дизъюнкции. Из приведенного определения для любых t-норм T и t-конорм S следует выполнение следующих неравенств:

TD (x,y) <T(x,y) <Tm (x,y) < Sm (x,y) <S(x,y) <Sd (x,y).

Таким образом, t-нормы TD и TM являются минимальной и максимальной границами для всех t-норм. Аналогично, t-конормы SM и SD являются минимальной и максимальной границами для всех t-конорм. Эти неравенства очень важны с практической точки зрения, так как они устанавливают границы возможного варьирования операций T и S. На рис. 10 и рис. 11 представлены графики соответствующих t-норм и t-конорм.

а)б)

Рис. 11. а) t-конорма SM, б) t-конорма SD . Для всех t-конорм S выполняется: SM(x,y) < S(x,y) < SD(x,y)



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33]