и

или

и

rilj(x) < rilk(x) < x < nlk(x) < nlj(x)(36)

n2J+\x) < n2k+\x) < n(x) < n-2k-1(x) < n-2j-1(x)(37)

n2J(x) < n2k(x) < x < n-2k(x) < n-2j(x)(38)

n-2j-l(x) < n-2k-1(x) < n(x) < n2k+l(x) < n2j+\x)(39)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как n-1 является отрицанием, то для него выполняется

n-l(y) < n-l(x), если x < y.(40)

2-2-4-22

Обозначим y = n (x). Тогда ri (y) = x, ri (y) = ri (x). Если x < n (x), то

2422

ri (y) < y, и дважды применяя (40), получим, ri (y) < ri (y) < y, т.е. ri (x) < x < n (x). Многократно применяя отрицания к обеим частям неравенств, получим (36) и (37). Аналогично, если n (x) < x, получим (38) и (39).

Предложение 2.24. Пусть n - биективное отрицание. Тогда для

2k2k+112k

любого xe[0,1] последовательности ak = n (x), bk = n (x), ak~ = ri (x), ЪкЛ= n2k-1(x) имеют пределами некоторые инволютивные элементы a, b, a1 и b1, соответственно, такие, что n(a) = Ъ и nl(a Л)=ЪЛ.

Доказате льство. Из предложения 2.23 следует, что последовательности ak = n2k(x), bk = n2k+1(x) будут невозрастающими или неубывающими, и из их ограниченности следует существование

a = lim ak и b = lim bk. Из биективности и, следовательно,

k -ооk -оо

/л

О / i 1

n(a)=n lim ak = lim n(ak) = lim n (x)=b, и

непрерывности n получим

lim ak

V k оо

аналогично n(n(a) = n(b) = a. Аналогичный результат имеет место и для n-1.

Определение 2.25. Пусть n - некоторое биективное отрицание и xe[0,1]. Обозначим aL(x) = min(al,a), aR(x) = max(al,a), bL(x) = min(bl,b), bR(x) = max(bl,b), где al,a, b~l, b определены выше. Интервалы A(x) = [aL(x), aR(x)] и B(x) = [bL(x), bR(x)] будут называться интервалами, порождаемыми элементом x. Для неинволютивных элементов x Ao(x) и Bo(x) будут обозначать соответствующие открытые интервалы (aL(x),aR(x)) и (bL(x),bR(x)). Для инволютивных элементов x обозначим Ao(x) = {x}, Bo(x) = {n(x)}.

Отметим следующие очевидные свойства этих интервалов. Предложение 2.26. Для всех xe [0,1] выполняется:

1)xeAo(x),

2)Bo(x) = Ao(n(x)),

3)G(x)vG-1(x)A(x)vB(x).

Предложение 2.27. В A(x) и B(x) инволютивными элементами являются только концы этих интервалов.

Доказате льс тво. Предположим, что yeA(x) является инволютивным элементом отрицания n. Если x < y, тогда, последовательно применяя отрицание, получим n2(x) < n2(y) = y и n2k(x) < y для всех k > 1. Из инволютивности y по отрицанию n следует инволютивность y по отрицанию n"1, откуда также получаем n2k(x) <y для всех k > 1. Из обоих полученных неравенств, непрерывности n и nl и из предложения 2.24 получаем aR(x) < y, что дает aR(x) = y. Если y < x, аналогично получаем aL(x)= y. Инволютивность aR(x) и aL(x) следует из предложения 2.24. Из предложения 2.26 следует аналогичный результат и для B(x).

Предложение 2.28. Для любых x,ye[0,1] следующие соотношения эквивалентны:

1)A°(x) = Ao(y),

2)Bo(x) = Bo(y),

3)xeA°(y),

4)yeA°(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из 1) следует A(x) = A(y), и применяя отрицание n к aL(x)= aL(y), aR(x)= aR(y), из предложения 2.24 получим B(x)= B(y), откуда следует 2). Обратно, из 2) следует 1). Из 1) и предложения 2.25 следует 3) и 4).

Покажем, что из 3) следует 1). Если Ao(y) ={y}, тогда 1) очевидно. Предположим, что Ao(y) ф {y}, т.е. y неинволютивно. Тогда из предложения 2.26 следует, что все элементы Ao(y) и, следовательно, x неинволютивны. Из xeA°(y) и xeA°(x) следует, что интервалы A(x) и A(y) пересекаются, и это пересечение содержит только неинволютивные точки. Тогда из предложения 2.27 следует, что граничные точки обоих интервалов совпадают, что дает A°(x) = A°(y). Аналогично, 1) следует из 4).

Предложение 2.29. Для каждого xe[0,1] биективное отрицание является сжимающим или разжимающим на A°(x).

Доказательство. Для инволютивного x заключение предложения очевидно. Пусть x - неинволютивно и выполнено, например,

(36) и aL(x) = lim n~ (x), aR(x) = lim n (x). Для любого yeA°(x) k -»ook -»oo

выполяется aL(x) < y < aR(x), и из (36) следуют две возможности:

n2k(x) < y < n2k+\x)(41)

или

n"2k"2(x) < y < n-2k(x)(42)

для некоторого ke {0,1,2,...}. Если выполняется (41), то, применяя отрицание, получим

n2k+3(x) < n(y) < n2k+\x),(43)

что дает

n2k(x) < y < rik+2(x) < n2(y) < n2k+4(y).(44)

Если n - сжимающее в x, то из (44) следует (11) и из (43), (44) следует сжимаемость n в x. Если n - разжимающее в x, тогда из (42) следует (12) и из (43) следует, что n также разжимающее в y. Аналогично, если y удовлетворяет (42), получим, что n1 одинаковое в x и y и из теоремы 2.12 следует, что n также одинаковое в x и y. Доказательство для случая

aL(x)= lim n (x) и aR(x)= lim n- (x) аналогично.

k --ооk --оо

Полученные результаты доказывают теорему 2.18.

Библиографические комментарии к главе 2

Отрицания в формальной и многозначной логике исследовались в [20, 28]. Связь операции дополнения нечетких множеств с операцией отрицания исследовалась в [92] с позиций теории категорий. В [101] исследовались отрицания, минимизирующие отличия от булевых отрицаний. В [118] исследуются свойства отрицаний на решетках и их связь с мерой нечеткости элементов. Отрицания на упорядоченных лингвистических метках рассматриваются в [109]. В [104] исследуются свойства отрицаний в логическом программировании. Дуальные изоморфизмы, инволюции и интуиционистские отрицания на решетке нечетких множеств исследуются в [68]. Слабые и интуиционистские отрицания изучаются в [69]. В работах [96, 97] изучаются инволюции специального вида. В работах [114, 115] исследуются методы генерации отрицаний операторами компенсации и вопросы сходимости отрицаний к фиксированной точке.

Результаты раздела 1 основаны на работах [8, 43]. Там же впервые введено понятие сжимающих и разжимающих отрицаний. Общие свойства инволюций исследовались в работах [111, 116]. Биективные отрицания называют обычно строгими, а инволюции - сильными отрицаниями. Фиксированные точки называют также точкой симметрии, уровнем симметрии, равновесием, самоотрицающей точкой и т.д. Теорема 2.3, лемма 2.4 и теорема 2.5 основаны на работах [110, 111]. Предложение 2.6 основано на работе [75]. В работе [72] исследуется связь операции отрицания с операцией импликации. Там же дается представление биективных (строгих) отрицаний с помощью двух автоморфизмов. Первые методы генерации сжимающих и разжимающих отрицаний на [0,1] были предложены в работе [54]. Предложение 2.15 основано на этой работе. Остальные результаты раздела 2 (предложение 2.7 и далее) являются новыми [45]. Результаты раздела 2.3 основаны на работе [53].