методах осуществляется модификация самих значений инволютивных отрицаний.

Предложение 2.17. Пусть n1 - инволютивное отрицание с фиксированной точкой s, и g, h - автоморфизмы интервала [0,1], тогда функция

n( x)

s + (1 - s )g f n1( x)

ni (x)

V

1-s

s h

если x < s

если s < x

V s J

s

является сжимающим отрицанием, если g(x) <x <h(x) для всех xe[0,1], и n является разжимающим отрицанием, если имеют место противоположные неравенства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из построения следует, что n(0) = 1, n(1) = 0, n(s) = s. Если h(x) = x = g(x) для всех xe [0,1], то очевидно, что n = n1. При выполнении g(x) <x <h(x) на [0,1] следует выполнение условий (31), т.е. n является сжимающим отрицанием, и при выполнении h(x) < x < g(x) на [0,1] следует выполнение условий (32), т. е. n является разжимающим отрицанием.

Заметим, что в качестве автоморфизмов в последних формулах могут использоваться автоморфизмы /[ ] и /[+], соответствующие автоморфизму f, порождающему инволютивное отрицание n1. Таким образом, предложенные методы позволяют генерировать сжимающие и разжимающие отрицания с помощью произвольного автоморфизма f интервала [0,1].

Приведем пример генерации сжимающих и разжимающих отрицаний на основе метода, рассмотренного в предложении 2.17. В качестве инволютивного отрицания возьмем отрицание Ягера с генератором f = xp и фиксированной точкой s= (0.5)1/p. Положим g= в[.], h= где e= xq. При q> 1 имеем g= xq, h= xl1q. Тогда получим такое сжимающее отрицание:

n( x)

(1

s + 1 - s

pr-xp

- s

1-s

если x < s

q

1 \

если s < x

На рис 9а) приведен график этого отрицания с параметром q = 4 вместе с графиком соответствующего отрицания Ягера с параметром p = 2. Если в формуле предложения 2.17 g и h поменять местами, то получим разжимающее отрицание, приведенное на рис. 9б). Заметим, что если в этом случае в качестве генератора e взять генератор f используемый для построения отрицания Ягера, т.е. положить q= p, то справа от фиксированной точки формула разжимающего отрицания будет иметь более простой вид.

Yager p= 2, contracting q=4Yager p= 2, expanding q=4

а)б)

Рис. 9. Сжимающее и разжимающее отрицания, построенные из отрицания Ягера с параметром p= 2: а) сжимающее; б) разжимающее.

Ясно, что на основе теоремы 2.14 могут быть предложены и другие методы генерации сжимающих и разжимающих отрицаний.

2.3. Биективные отрицания на [0,1]

Основным результатом этого раздела является следующая теорема.

Теорема 2.18. Множество неинволютивных элементов биективного отрицания n на [0,1] имеет единственное представление в виде объединения непересекающихся открытых интервалов, на каждом из которых n является либо сжимающим, либо разжимающим, и в каждом таком интервале для любого его элемента x последовательности ak= n2k(x) и akA= n2k(x) принадлежат этому интервалу, и имеют пределами инволютивные элементы, совпадающие с концами интервалов.

Отрицание называется сжимающим (разжимающим) на интервале, если оно сжимающее (разжимающее) в каждой точке интервала.

Докажем предварительно ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 2.19. Неинволютивные элементы биективного отрицания имеют бесконечный ранг.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n биективно. Предположим, что в [0,1] существует неинволютивный элемент x с конечным рангом R(x) = k. Если k= 2, то из предложения 1.13 получим G(x) = {x, n(x)} и n(n(x)) = x или n(n(x)) = n(x), что противоречит либо неинволютивности x, либо биективности n, так как n(x) ф x. Если k > 3, то из предложения 1.13 следует, что G(x) содержит по крайней мере 3 различных элемента: y = nkl(x), z = nk2(x), и v = nk3(x). Возможны два случая:

1)nk(x) = nk 1(x), что дает n(y) = nk 1(x)= n(nk2(x)) = n(z), что противоречит биективности n, так как y 9z.

2)nk(x) = nk2(x), что дает n(y)= nk2(x)= n(nk3(x))= n(v), что также противоречит биективности n, так как y 9v.

Полученные противоречия доказывают лемму.

Следствие 2.20. Биективное отрицание имеет конечный ранг тогда и только тогда, когда оно является инволюцией.

Таким образом, неинволютивные отрицания конечного ранга должны быть либо нестрого убывающими, либо разрывными функциями. Слабые и обычные отрицания, отличные от инволюций, являются примерами таких отрицаний.

С учетом следствия 1.12 получаем также следующее

Следствие 2.21. Для биективного отрицания n на [0,1] выполняется

R(x) =R(nk(x)) для всех xe[0,1] и всех целых k > 0.

Из предложения 1.7 и следствия 2.21 следует

Следствие 2.22. Биективное отрицание n является сжимающим, разжимающим или инволютивным в точках nk(x)e[0,1] одновременно для всех целых k > 0.

Предложение 2.23. Для биективного отрицания n для всех xe[0,1] и всех j > k > 0 возможны только следующие пары соотношений: