Аналогично проводится доказательство для разжимающих отрицаний.

Теорема 2.14 дает способ построения сжимающих и разжимающих отрицаний на основе инволютивного отрицания и обобщает следующий способ построения сжимающих и разжимающих отрицаний из [54].

Предложение 2.15. Пусть g и h автоморфизмы интервала [0,1], и s е (0,1), тогда функция

n( x)

1 -(1 - s )g s - s hh

x

К s )

x-s

1-s

если x < s

если s < x

(33)

является сжимающим отрицанием, если h(x) < x < g(x) на [0,1], и разжимающим отрицанием, если g(x) < x < h(x) на [0,1].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что n(0) = 1, n(1) = 0, n(s) = s, и n -биективное отрицание. Если h(x) < x < g(x) на [0,1], то в соответствии с теоремой 2.14 отрицание n - является сжимающим по отношению к инволютивному отрицанию

x)

1 -(1 - s)

s - s

x s

x-s

1-s

если x < s

если s < x

1 - (1 - s)x, если x < s

1-s

l~ 1 - s

если s < x

(34)

получаемому из (23) при f(x) = x. Аналогично, если g(x) < x < h(x) на [0,1], то в соответствии с теоремой 2.14 отрицание n - является разжимающим по отношению к инволютивному отрицанию n1.

Поскольку из x < g(x) на [0,1] следует gl(x) < x на [0,1], то в условиях теоремы 2.15 вместо функции h может использоваться функция g"1 и наоборот. Если f - произвольный автоморфизм интервала [0,1], то в условиях теоремы 2.15 вместо функций g и h могут использоваться соответственно функции /[.] и f[+].

Простым признаком сжимаемых и разжимаемых отрицаний, который следует из предложения 2.15 является следующий: если отрицание вогнуто слева от точки его пересечения с прямой y = x и выпукло справа от этой точки, то оно сжимающее, и наоборот, если выполняются противоположные свойства, то оно разжимающее.

Примеры сжимающих и разжимающих отрицаний, построенных по правилу (33) с генераторами g(x) = xp., и h(x) = xl/p приведены на рис. 7. Там же приведены также графики кусочно-линейной инволюции (34), получаемой при значении параметра p = 1.

p= 0.3, 1

p= 1, 3

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

а)б)

Рис. 7. Отрицания, построенные по правилу (33) с фиксированной точкой s = 0.6 и генераторами g=xp и h =g~l = xl/p: а) сжимающие с p= 0.3 и 1; б) разжимающие с p= 1 и 3.

Модификацией формулы (33) построения сжимающих разжимающих отрицаний является следующая:

и

n( x)

1 -(1 - s )g

Г1 - x

x

V s J

s g

1-s

если x < s

если s < x

0

0

0

0

определяющая сжимающее отрицание, если g(x) > x для всех xe[0,1], и разжимающее отрицание, если g(x) < x для всех xe [0,1].

Следующие способы построения сжимающих отрицаний непосредственно основаны на теореме 2.14.

Предложение 2.16. Пусть n1 - инволютивное отрицание с фиксированной точкой s, и g - автоморфизм интервала [0,1], тогда функция

n(x)

n1

n1

s g

x

V s JJ

1 -(1 - s )g

1-x

1-s

JJ

если x < s

если s < x

(35)

является сжимающим отрицанием, если g(x) > x на [0,1], и разжимающим отрицанием, если g(x) < x на [0,1].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из построения следует, что n является биективным отрицанием с фиксированной точкой s. Из g(x) > x следует sg(x/s) > x, и из убывания n1 следует, что n(x) < щ(х), если x < s. Аналогично, из g(x) > x следует (1-(1-s)g((1-x)/(1-s))) <x, и n(x) > n1(x), если s < x, и из теоремы 2.14 следует, что n(x) - сжимающее отрицание. Двойственно, n(x) - разжимающе отрицание, если g(x) < x на [0,1].

Пример отрицаний, построенных по формуле (35) на основе отрицания Сугено с параметром p и автоморфизмом g(x) = xp для значений параметра p: а) p = 0.3; б) p=3, приведен на рис. 8.

p= 0.3

p= 3

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5

б)

а)

Рис. 8. Сжимающие и разжимающие отрицания, построенные по формуле (35) на основе отрицания Сугено и автоморфизма g(x)= x с параметрами: а)p = 0.3; б)p=3.

Другой способ построения сжимающих и разжимающих отрицаний дает формула

n( x)

n1

s g

n1

x

К s JJ s + (1 - s )h

1-s

если x < s

если s < x

0

0

0

0

где g и h - автоморфизмы интервала [0,1]. Это отрицание является сжимающим, если h(x) < x < g(x) для всех xe[0,1]. Отрицание является разжимающим, если g(x) и h(x) удовлетворяют противоположным неравенствам.

Если в предыдущих двух методах построения сжимающих и разжимающих отрицаний на основе теоремы 2.14 использовалась модификация аргумента инволютивного отрицания, то в следующих