n(xs/s))/(\-s) = n(x). Если s < x, то также получаем n(x): sf л(( 1-х)/( \ -s)) = sn(1- (1- s)( 1-x )/( 1-s))/s = n(x).

Примером отрицания, построенного по правилу (23) с генератором f(x) = xp, является отрицание:

Г

n( x)

1 - (1 - s)

I V1 - s

если x < s

если s < x

(24)

Графики этого отрицания для s = 0.3 и различных значений параметра p приведены на рис. 6. При p = 1 это отрицание задается двумя отрезками прямых, соединяющими точки (0,1) и (1,0) с точкой (s,s), лежащей на прямой y = x.

p= 0.1, 0.3, 1p= 1, 3, 6

а)б)

Рис. 6. Графики инволютивных отрицаний (24) с фиксированной точкой s=0.3 для значений параметра p: а) p= 0.1, 0.3 и 1; б) p= 1, 3 и 6.

Предложение 2.11. Если n1 и n2 - инволютивные отрицания с фиксированной точкой s1= s2= s, то n1(x) < n2(x) для всех x < s тогда и только тогда, когда n1(x) < n2(x) для всех x >s.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n1(x)< n2(x) для всех x <s и пусть y >s. Обозначим x= n2(y), тогда x < s и n2(y) = x= n1(n1(x)) > n1(n2(x)) = n1(n2(n2(y)))= n1(y). Аналогично показывается, что из n1(x)< n2(x) для всех x >s следует n1(y)< n2(y) для любого y <s.

Указанное в предложении 2.11 свойство инволюций наглядно демонстрируется на приведенных выше графиках. В следующем разделе будет показано, что сжимающие и разжимающие отрицания обладают в определенном смысле противоположным свойством.

2.2. Сжимающие и разжимающие отрицания на [0,1]

Из определения сжимающих и разжимающих отрицаний следует, что n является сжимающим в xe[0,1] (сжимающим на [0,1]) тогда и только тогда, когда в xe[0,1] (на [0,1]) выполняется одно из условий:

x < n(n(x)) < n(x),(25)

n(x) < n(n(x)) < x.(26)

Аналогично, n является разжимающим в xe[0,1] (разжимающим на [0,1]) тогда и только тогда, когда в xe[0,1] (на [0,1]) выполняется одно из условий:

n(n(x)) < x < n(x),(27)

n(x) < x < n(n(x)).(28)

Теорема 2.12. Биективное отрицание n является сжимающим в xe[0,1] (сжимающим на [0,1]) тогда и только тогда, когда n-1 является разжимающим в xe[0,1] (разжимающим на [0,1]).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что двукратное применение п1 к элементам неравенств (25), (26) преобразует их в (27), (28) для отрицания nl и наоборот. Например, из (25), (26) получим:

n 1(n 1(x)) < x < n~\x), nl(x) < x < nl(nl(x)).

Для биективных, а значит строго убывающих отрицаний на [0,1], следующее предложение устанавливает простой признак, характеризующий сжимающие и разжимающие отрицания.

Предложение 2.13. Биективное отрицание n является сжимающим тогда и только тогда, когда для всех x e[0,1]

из x < n(x) следует x <n(n(x)),(29)

и является разжимающим тогда и только тогда, когда для всех xe [0,1]

из x < n(x) следует n(n(x))< x.(30)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что если n - сжимающее, то на [0,1] выполняется (29). Пусть на [0,1] имеет место (29). Покажем, что n сжимающее. Если x <n(x), то применяя отрицание, получим n(n(x)) <n(x), и из (29) следует (25). Покажем, что для всех x таких, что n(x) < x,

выполняется (26). Предположим, что это не так, и для некоторого x1e[0,1] имеет место n(x1) < x1 и x1 < n(n(x1)). Обозначим y= n(x1), тогда y < n(y) и из (29) следует n(x1) = y < n(n(y)) = n(n(n(x1))). В то же время из x1 < n(n(x1)) и строгого убывания n следует n(n(n(x1)))< n(x1). Полученное противоречие доказывает выполнение (26). Таким образом, n - сжимающее отрицание.

Аналогично доказывается предложение для разжимающих отрицаний.

Так как для инволютивных отрицаний выполняется n(n(x)) = x, а условия x < n(x) и n(x) < x эквивалентны для биективных отрицаний условиям x < s и s < x, где s - фиксированная точка отрицания, то указанные выше свойства сжимающих и разжимающих отрицаний дают основание для следующей характеризации этих отрицаний.

Теорема 2.14. Биективное отрицание n с фиксированной точкой s является сжимающим тогда и только тогда, когда существует инволюция n1 такая, что для всех x[0,1] выполняется

n(x) < n1(x), если x < s,

n1(s) = n(s) = s,(31)

n1(x) < n(x), если x > s,

и отрицание n является разжимающим тогда и только тогда, когда существует инволюция n1 такая, что для всех x[0,1] выполняется

n1 (x) < n(x), если x < s,

n1(s)= n(s)= s,(32)

n(x) < n1 (x), если x > s.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n1 - инволюция с фиксированной точкой s, и выполняется (31). Покажем, что n - сжимающее. Пусть x < s, тогда n(x) < n1(x) и n(x) > s, что дает n(n(x)) > n1(n(x)) > n1(n1(x)) = x, и из предложения 2.13 следует, что n - сжимающее.

Пусть n - сжимающее отрицание. Рассмотрим функцию:

x)

n(x), если x < s n 1(x), если x > s

Из предложения 2.9 следует, что эта функция является инволютивным отрицанием. Очевидно, что она удовлетворяет первым двум условиям из (31). Поскольку n - сжимающее, то для него выполняется (26) и из n(n(x))< x для x > s следует n(x) > n-1(x) = n1(x), т. е. выполняется третье условие из (31).