Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[10]

2. Отрицания на [0,1]

2.1. Инволютивные отрицания

Отрицания на L= [0,1] являются частным случаем отрицаний на линейно упорядоченном множестве, рассмотренных в предыдущем разделе, поэтому все свойства отрицаний, определяемые линейным упорядочением элементов из L, имеют место и для отрицаний на [0,1]. В этом и следующих разделах исследуются свойства отрицаний как вещественных функций. В дальнейшем, отрицание Заде будет обозначаться заглавной буквой:

N(x) = 1-x.

Определение 2.1. Отрицание n:[0,1]-»[0,1] называется биективным, если функция n биективная.

Из определения биективной функции как взаимно-однозначной функции и из условия невозрастания отрицания n(y) < n(x), если x < y, следует, что биективное отрицание является строго убывающей непрерывной функцией.

Строго убывающие непрерывные отрицания на [0,1] называют также строгими отрицаниями, а инволютивные отрицания на [0,1] называют сильными отрицаниями.

У биективного отрицания существует обратная функция n"1, которая также будет биективным отрицанием.

Биективное отрицание имеет фиксированную точку, для нее выполняется n(s) = s = n~l (s). Очевидно, что точка (s,s) является точкой пересечения графиков функций y(x) = n(x) и y(x)= x.

Инволютивное отрицание является биективным. Для инволютивного отрицания из n(n(x) = x следует n~l(x)= n(x) для всех xe[0,1]. Таким образом, график инволютивного отрицания симметричен относительно прямой линии y(x) = x.

Определение 2.2. Непрерывная строго возрастающая функция /:[0,1]-[0,1] такая, что f(0)= 0, f(1)= 1 называется автоморфизмом интервала [0,1].

Теорема 2.3. Функция n:[0,1]-[0,1] является инволюцией тогда и только тогда, когда существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что

n(x) = f л(1 - f(x)).(16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что (16) удовлетворяет условиям (1), (2) и условию инволютивности n(n(x))=f л(1-ff ~l(1-f(x))))= x.


Доказательство того, что любая инволюция представима в виде (16), основано на следующей лемме.

Лемма 2.4. Пусть n1 и n2 - две инволюции на [0,1]. Тогда существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что

m(x) = f-l(n2(f(x))).(17)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s1 и s2 - фиксированные точки отрицаний n1 и n2, соответственно, и пусть g:[0,s1]»[0,s2] - возрастающая биективная функция, тогда функция

Гg(x),если x < S1

f(x)=i

[n2(g(n1(x))), если S1 < x

является биективной возрастающей функцией, отображающей [0,1] на [0,1] так, что f(s\) = s2 . Покажем, что для нее выполняется (17). Из определения f следует, что f ~l(x) = gl(x) при x < s2 и f ~l(x) = n1 (gl(n2(x))) при s2 < x . Тогда при x< s1 получимf(x)= g(x)< s2 , n2(f(x)) = n2(g(x))> s2 и f ~x(n2f(x))) = n1(gx (n2(n2(g(x))))) = n1(x). Аналогично показывается, что f ~l(n2f(x))) = n1(x) при s1 < x .

Полагая в условиях леммы n2(x) = N(x) = 1 - x, получим (16).

Теорема доказана.

Функция f(x) в условиях теоремы 2.3. называется аддитивным генератором инволютивного отрицания. Нетрудно увидеть, для фиксированной точки инволютивного отрицания, генерируемого аддитивным генератором f, выполняется:

As) = 0.5,s = f -1(0.5).

Таким образом, любое инволютивное отрицание n является сопряженным отрицанию Заде, т.е. существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что n = f-1 ° N°f. Более обще, пусть, M - группа композиций всех монотонных биективных функций из [0,1] на [0,1], S - множество инволюций на [0,1] и (N) - класс функций из M, сопряженных N.

Теорема 2.5. S = (N).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что из h e(N) следует h eS. Из h e(N) следует существование функции gEM такой, что h = g~l °N°g, откуда следует, что h - строго убывающая функция, h(h(x)) = gl(1-g(h(x))) = g-l(1-g(h(x))) = x, и из {g(0),g(1)}={0,1} следует h(1) = 0, h(0) = 1, т.е. hES.


Предложение 2.6. Пусть n - инволюция. Тогда

n(x) = f Л(\ - f(x)) = g Л(\ - g(x))

где f и g - автоморфизмы интервала [0,1], тогда и только тогда, когда существует автоморфизм h интервала [-0.5,0.5] такой, что

g(x) = 0.5 + h(f(x) - 0.5).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что f Л(1 - f(x)) = g Л(1 - g(x)). Обозначая y= f(x), получим, что это равенство выполняется тогда и только тогда, когда gf л(1-у)) = 1- g(f ~l(y)). Определим функцию h: [-0.5,0.5] -» [-0.5,0.5] так, что h(z) = gf (z+0.5)) - 0.5. Ясно, что эта функция является автоморфизмом [-0.5,0.5] и для нее выполняется gf Л(у))= 0.5 + h(y - 0.5), откуда следует g(x) = 0.5 + h(f(x) - 0.5).

Примером параметрического класса инволюций, построенных по правилу (16), является отрицание Сугено:

n(x) =(1-x)/(1+px), (p > -1),

генерируемое генератором f(x) = log(1+px)/log(1+p). Это отрицание является единственным рациональным отрицанием вида (ax+b)/(cx+d).

1/2

Фиксированная точка отрицания Сугено равна s= ((1+p) -1)/p.

Sugeno: p= 2, 0, -0.5Yager: p= 0.5, 1, 2

00.5100.51

а)б)

Рис. 4. Графики отрицаний Сугено и Ягера: а) отрицание Сугено, p = 2, 0, -0.5; б) отрицание Ягера, p = 0.5, 1, 2.

Другим примером построенного таким образом отрицания является отрицание Ягера:

n(x) = p 1 - xp , pe(0,co),



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33]