|
||||
Меню:
Главная
Форум
Литература: Программирование и ремонт Импульсные блоки питания Неисправности и замена Радиоэлектронная аппаратура Микросхема в ТА Рубрикатор ТА Кабельные линии Обмотки и изоляция Радиоаппаратура Гибкие диски часть 2 часть 3 часть 4 часть 5 Ремонт компьютера часть 2 Аналитика: Монтаж Справочник Электроника Мощные высокочастотные транзисторы 200 микросхем Полупроводники ч.1 Часть 2 Алгоритмические проблемы 500 микросхем 500 микросхем Сортировка и поиск Монады Передача сигнала Электроника Прием сигнала Телевидиние Проектирование Эвм Оптимизация Автомобильная электроника Поляковтрансиверы Форт Тензодатчик Силовые полевые транзисторы Распределение частот Резисторные и термопарные Оберон Открытые системы шифрования Удк |
[10] 2. Отрицания на [0,1] 2.1. Инволютивные отрицания Отрицания на L= [0,1] являются частным случаем отрицаний на линейно упорядоченном множестве, рассмотренных в предыдущем разделе, поэтому все свойства отрицаний, определяемые линейным упорядочением элементов из L, имеют место и для отрицаний на [0,1]. В этом и следующих разделах исследуются свойства отрицаний как вещественных функций. В дальнейшем, отрицание Заде будет обозначаться заглавной буквой: N(x) = 1-x. Определение 2.1. Отрицание n:[0,1]-»[0,1] называется биективным, если функция n биективная. Из определения биективной функции как взаимно-однозначной функции и из условия невозрастания отрицания n(y) < n(x), если x < y, следует, что биективное отрицание является строго убывающей непрерывной функцией. Строго убывающие непрерывные отрицания на [0,1] называют также строгими отрицаниями, а инволютивные отрицания на [0,1] называют сильными отрицаниями. У биективного отрицания существует обратная функция n"1, которая также будет биективным отрицанием. Биективное отрицание имеет фиксированную точку, для нее выполняется n(s) = s = n~l (s). Очевидно, что точка (s,s) является точкой пересечения графиков функций y(x) = n(x) и y(x)= x. Инволютивное отрицание является биективным. Для инволютивного отрицания из n(n(x) = x следует n~l(x)= n(x) для всех xe[0,1]. Таким образом, график инволютивного отрицания симметричен относительно прямой линии y(x) = x. Определение 2.2. Непрерывная строго возрастающая функция /:[0,1]-[0,1] такая, что f(0)= 0, f(1)= 1 называется автоморфизмом интервала [0,1]. Теорема 2.3. Функция n:[0,1]-[0,1] является инволюцией тогда и только тогда, когда существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что n(x) = f л(1 - f(x)).(16) Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что (16) удовлетворяет условиям (1), (2) и условию инволютивности n(n(x))=f л(1-ff ~l(1-f(x))))= x. Доказательство того, что любая инволюция представима в виде (16), основано на следующей лемме. Лемма 2.4. Пусть n1 и n2 - две инволюции на [0,1]. Тогда существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что m(x) = f-l(n2(f(x))).(17) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть s1 и s2 - фиксированные точки отрицаний n1 и n2, соответственно, и пусть g:[0,s1]»[0,s2] - возрастающая биективная функция, тогда функция Гg(x),если x < S1 f(x)=i [n2(g(n1(x))), если S1 < x является биективной возрастающей функцией, отображающей [0,1] на [0,1] так, что f(s\) = s2 . Покажем, что для нее выполняется (17). Из определения f следует, что f ~l(x) = gl(x) при x < s2 и f ~l(x) = n1 (gl(n2(x))) при s2 < x . Тогда при x< s1 получимf(x)= g(x)< s2 , n2(f(x)) = n2(g(x))> s2 и f ~x(n2f(x))) = n1(gx (n2(n2(g(x))))) = n1(x). Аналогично показывается, что f ~l(n2f(x))) = n1(x) при s1 < x . Полагая в условиях леммы n2(x) = N(x) = 1 - x, получим (16). Теорема доказана. Функция f(x) в условиях теоремы 2.3. называется аддитивным генератором инволютивного отрицания. Нетрудно увидеть, для фиксированной точки инволютивного отрицания, генерируемого аддитивным генератором f, выполняется: As) = 0.5,s = f -1(0.5). Таким образом, любое инволютивное отрицание n является сопряженным отрицанию Заде, т.е. существует автоморфизм f интервала [0,1] такой, что n = f-1 ° N°f. Более обще, пусть, M - группа композиций всех монотонных биективных функций из [0,1] на [0,1], S - множество инволюций на [0,1] и (N) - класс функций из M, сопряженных N. Теорема 2.5. S = (N). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что из h e(N) следует h eS. Из h e(N) следует существование функции gEM такой, что h = g~l °N°g, откуда следует, что h - строго убывающая функция, h(h(x)) = gl(1-g(h(x))) = g-l(1-g(h(x))) = x, и из {g(0),g(1)}={0,1} следует h(1) = 0, h(0) = 1, т.е. hES. Предложение 2.6. Пусть n - инволюция. Тогда n(x) = f Л(\ - f(x)) = g Л(\ - g(x)) где f и g - автоморфизмы интервала [0,1], тогда и только тогда, когда существует автоморфизм h интервала [-0.5,0.5] такой, что g(x) = 0.5 + h(f(x) - 0.5). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что f Л(1 - f(x)) = g Л(1 - g(x)). Обозначая y= f(x), получим, что это равенство выполняется тогда и только тогда, когда gf л(1-у)) = 1- g(f ~l(y)). Определим функцию h: [-0.5,0.5] -» [-0.5,0.5] так, что h(z) = gf (z+0.5)) - 0.5. Ясно, что эта функция является автоморфизмом [-0.5,0.5] и для нее выполняется gf Л(у))= 0.5 + h(y - 0.5), откуда следует g(x) = 0.5 + h(f(x) - 0.5). Примером параметрического класса инволюций, построенных по правилу (16), является отрицание Сугено: n(x) =(1-x)/(1+px), (p > -1), генерируемое генератором f(x) = log(1+px)/log(1+p). Это отрицание является единственным рациональным отрицанием вида (ax+b)/(cx+d). 1/2 Фиксированная точка отрицания Сугено равна s= ((1+p) -1)/p. Sugeno: p= 2, 0, -0.5Yager: p= 0.5, 1, 2 00.5100.51 а)б) Рис. 4. Графики отрицаний Сугено и Ягера: а) отрицание Сугено, p = 2, 0, -0.5; б) отрицание Ягера, p = 0.5, 1, 2. Другим примером построенного таким образом отрицания является отрицание Ягера: n(x) = p 1 - xp , pe(0,co), |
Среды: Smalltalk80 MicroCap Local bus Bios Pci 12С ML Микроконтроллеры: Atmel Intel Holtek AVR MSP430 Microchip Книги: Емкостный датчик 500 схем для радиолюбителей часть 2 (4) Структура компьютерных программ Автоматическая коммутация Кондиционирование и вентиляция Ошибки при монтаже Схемы звуковоспроизведения Дроссели для питания Блоки питания Детекторы перемещения Теория электропривода Адаптивное управление Измерение параметров Печатная плата pcad pcb Физика цвета Управлении софтверными проектами Математический аппарат Битовые строки Микроконтроллер nios Команды управления выполнением программы Перехода от ahdl к vhdl Холодный спай Усилители hi-fi Электронные часы Сердечники из распылённого железа Анализ алгоритмов 8-разрядные КМОП Классификация МПК История Устройства автоматики Системы и сети Частотность Справочник микросхем Вторичного электропитания Типы видеомониторов Радиобиблиотека Электронные системы Бесконтекстный язык Управление техническими системами Монтаж печатных плат Работа с коммуникациями Создание библиотечного компонента Нейрокомпьютерная техника Parser Пи-регулятор ч.1 ПИ-регулятор ч.2 Обработка списков Интегральные схемы Шина ISAВ Шина PCI Прикладная криптография Нетематическое: Взрывной автогидролиз Нечеткая логика Бытовые установки (укр) Автоматизация проектирования Сбор и защита Дискретная математика Kb радиостанция Энергетика Ретро: Прием в автомобиле Управление шаговым двигателем Магнитная запись Ремонт микроволновки Дискретные системы часть 2 | ||