построений нечеткой логики. В то же время расширение области приложений нечеткой логики и возможностей нечеткого моделирования вызывает необходимость обобщения этих операций. Одно направление связано с ослаблением аксиоматики этих операций с целью расширения инструментария нечеткого моделирования. Например, решение задач идентификации нечетких моделей и их оптимизации по параметрам операций вызывает необходимость рассмотрения неассоциативных операций конъюнкции и дизъюнкции с целью построения простых параметрических классов этих операций. Другое направление обобщения операций конъюнкции и дизъюнкции нечеткой логики связано с заменой множества значений принадлежности, правдоподобности [0,1] на линейное или частично упорядоченное множество лингвистических оценок правдоподобности или на списки таких оценок правдоподобности. Это направление обобщения основных операций нечеткой логики, с одной стороны, вызывается необходимостью разработки экспертных систем, в которых значения истинности, правдоподобности фактов и правил оцениваются экспертом или пользователем непосредственно в лингвистической шкале и носят качественный характер. С другой стороны, это обобщение основных операций нечеткой логики вызывается смещением направления активного развития нечеткой логики от моделирования количественных процессов, поддающихся измерению, к моделированию человеческих процессов восприятия и принятия решений на основе гранулирования информации и вычисления словами [124 - 127].

Естественным обобщением инволютивных операций отрицания нечеткой логики являются неинволютивные отрицания. Подобные отрицания представляют самостоятельный интерес и рассматриваются в нечеткой и неклассических логиках. Необходимость исследования подобных операций отрицания вызывается также введением в рассмотрение обобщенных операций конъюнкции и дизъюнкции, связанных друг с другом с помощью операции отрицания.

В первой главе книги рассматриваются основные операции нечеткой логики, введенные Заде. Соответствующая алгебра нечетких множеств является алгеброй Клини, занимая промежуточное положение между алгебрами Де Моргана и булевыми алгебрами. Алгебры Клини характеризуются в классе алгебр Де Моргана, исследуются подклассы алгебр Клини, метрические алгебры Клини и меры нечеткости на алгебрах Клини. В заключение приводится аксиоматика для операций Заде.

Во второй главе исследуются свойства отрицаний. Рассматриваются инволютивные отрицания и методы их генерации. Исследуются неинволютивные отрицания, среди которых основное внимание уделяется до настоящего времени слабо изученным сжимающим и разжимающим отрицаниям. Рассматриваются методы генерации сжимающих и

разжимающих отрицаний и изучаются свойства биективных неинволютивных отрицаний.

В третьей главе рассматриваются обобщения операций конъюнкции и дизъюнкции, введенных Заде. Рассматривается аксиоматика t-норм и t-конорм, традиционно применяемых в нечеткой логике в качестве операций конъюнкции и дизъюнкции, приводятся методы их генерации и примеры параметрических операций этого типа. t-нормы и t-конормы в настоящее время достаточно хорошо изучены, поэтому основное внимание в третьей главе уделено обобщениям этих операций. Рассматривается несколько классов неассоциативных операций конъюнкции и дизъюнкции и даются методы генерации этих операций. Приводятся примеры параметрических конъюнкций и дизъюнкций нового типа, имеющие более простой вид, чем параметрические t-нормы и t-конормы, и по этой причине более удобные для их использования в задачах оптимизации нечетких моделей по параметрам операций. Приводятся примеры использования параметрических конъюнкций в задачах нечеткого моделирования.

Тематика книги определяется научными интересами автора и в основном содержит результаты, полученные при участии автора, либо содержит смежные результаты других авторов и в основном опубликованные на английском языке. Ввиду ограниченности объема в книгу не удалось включить первоначально планировавшиеся результаты автора по строго монотонным операциям на порядковых шкалах (по алгебре лексикографических оценок правдоподобности) и их приложениям в экспертных системах [7, 8, 27, 55]. Операции импликации, лежащие в основе многих формальных построений нечеткой логики и широко используемые в системах нечеткого логического вывода в данной работе не рассматриваются [37, 40, 64, 72, 74, 75, 86, 100, 116]. В работе не рассматриваются также операции агрегирования, обобщающие статистические средние, по которым в настоящее время проводятся активные исследования [22, 65, 75, 85, 90, 120]. В книге не рассматриваются юнинормы и (9Ж/4-операторы, объединяющие операции конъюнкции, дизъюнкции и агрегирования, операторы дефаззификации, используемые в нечетком моделировании, нечеткие реляционные

операторы и многое другое [1, 22, 23, 32, 82, 84, 88, 90, 94, 95, 100, 120,

121]. В конце глав приводятся краткие библиографические ссылки как на результаты, обсуждаемые в тексте книги, так и на работы по смежной тематике. По этой причине библиографические ссылки в самом тексте работы минимальны.

Формулы нумеруются отдельно по главам. Определения и теоремы имеют сплошную нумерацию внутри одного раздела.

Автор выражает признательность своим друзьям и коллегам доктору М. Вагенкнехту из Университета прикладных наук Циттау/Горлитц, Германия, профессору О. Кайнаку из Босфорского университета г.

Стамбул, Турция и профессору И. Рудашу из Политехнического института г. Будапешт, Венгрия, плодотворное сотрудничество с которыми явилось причиной появления многих результатов этой работы. Особую признательность автор хотел бы выразить своим учителям проф. В. Вагину и проф. Д. Поспелову, которые стимулировали в течение многих лет исследования автора в области нечеткой логики и интеллектуальных систем. Автор хотел бы также с благодарностью отметить ту поддержку, которую он неизменно встречал у проф. Ю. Кожевникова как в первые годы своих научных исследований в области нечеткой логики, так и особенно в последние годы научного сотрудничества в области интеллектуальных информационных систем. Автор также признателен проф. В. В. Скворцову, благодаря которому он прочел первую статью по теории нечетких множеств, определившую его основное направление научных исследований.

Данная работа выполнена при финансовой поддержке Фонда НИОКР и Академии наук Республики Татарстан.