Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[15]

параметра простейшего потока Я, принята размерность: число вызовов за условную единицу времени. При занятости всех V линий поступающие вызовы ставят в очередь, где они ждут обслуживания [имеется т мест ожидания (1<m<<»)], которое выполняется по мере освобождения линий ПДВ. Чтобы все вызовы дождались обслуживания, на величину параметра накладывается ограничение A<. V, так как при A>V постоянно будут заняты все V линий и очередь необслуженных вызовов будет прогрессивно расти.

Таблица 4.2. Вероятность потерь по вызовам p„=f(N, V, а)

U

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

а=0,05

а=0,10

а=0,15

а=0,20

1,3104 0,05844 0,006772 0,0005076

0,4872 0,1798 0,04848 0,009602 0,001438 0,0001677

0,5918 0,2929 0.1165 0,03647 0,009036 0,001804 0,0002963 0,00004073

0,7102 0,4601 0,2649 0,1322 0,5615 0,02017 0,006158 0,001614 0,0003675 0,00007349

N=10 0,4737 " 0, 1593 0,03584 0,005347

N = 20 0,6552 0,3709 0,1737

0,06496

0,01912

0,004441

N = 30

0,7436

0,5101

0,3146

0,1698 0,07824 0,03035 0,009874 0,002708

0,8305 0,6659 0,5106 0,3700 0,2498 0,1548 0,08685 0,04361 0,01948 0,007731

N =50

0,5745 0,2563 0,01823 0,004086

0,7403 0,4998 0,2982 0,1518 0,06393 0,02189

0,8131 0,6307 0,4599 0,3096 0,1884 0,1016 0,04768 0,01929

0,8802 0,7601 0,6411 0,5251 0,4148 0,3133 0,2240 0,1500 0,09294 0,05282

0,6429 0,3396 0,1368 0,03945

0,7917 0,5876 0,3997 0,2423 0,1269 0,05591

0,8530 0,7049 0,5592 0,4210 0,2963 0,1916 0,1118 0,05794

0,9074 0,8133 0,7182 0,6229 0,5286 0,4367 0,3492 0,2683 0,1964 0,1358

Обозначим вероятность состояния модели, при котором в момент t находятся на обслуживании и ожидают в очереди i вызовов (0<i<V+m) через P i (t). При t --да устанавливается состояние статистического равновесия и вероятности P i (t) стремятся к постоянному пределу Pi и не зависят от начального распределения Р i (0). Распределение этих вероятностей определяется вторым уравнением Эрланга (вывод уравнения см., например, [18])

P ч

Я

i!

P0 при i < V;

Я\i-V AV

(4.20)

- I - P0 при i > V,

V J V! 0

где P0

0 V-1

I

Я

x AV

V

x=0 x! V! V-A

Определим для рассматриваемой модели основные характеристики качества обслуживания. Ожидание обслуживания может возникать только в случае занятости всех V линий ПДВ. Поэтому вероятность ожидания Р(>0) для поступившего вызова

1


P(> 0) = Pv + Pv+1 + Pv+2 + - = Y Pi .

i =V

С учетом значений Pi определяемых из (4.20), и свойств суммы членов бесконечной убывающей гео-

метрической прогрессии

да

Y (Xx/xI) = 1/(1 - XV) = V/(V - X), поскольку X/V < 1,

имеем

XV

V

1 Y-V ?ViVда / n 4

V

VI

VI

V

и p(> 0)

VI V-X

Y

x=0

XI XXL v

xI + VI V-X

(4.21)

Это выражение называется второй формулой Эрланга. Если числитель и знаменатель формулы (4.21)

V Xx

разделить на Y-, то после несложных преобразований можно получить более удобную для прак-

x=0 xI

тических расчетов формулу

P(> 0)

V

V-X Ev (X)

(4.22)

+ X

Вероятность условных потерь P ( >t) определяется дисциплиной очереди. Различают упорядоченную и неупорядоченную очереди. При упорядоченной очереди вызовы обслуживаются в порядке их поступления. При неупорядоченной очереди действует случайный выбор на обслуживание (все вызовы имеют одинаковую вероятность быть выбранными на обслуживание). Вероятность условных потерь (т. е. вероятность ожидания обслуживания более допустимого времени) при упорядоченной очереди определяется из уравнения (см. вывод, например, [18])

-(V-X)t

P(> t) = P(> 0)e

где Р(>0)-вероятность, определяемая из уравнения (4.22), а t представленное в условных единицах времени.

(4.23)

допустимое время ожидания,

При неупорядоченной очередивероятность

Р(>t) зависит не только от числа ожидающих вызововвмомент поступления рассматриваемого вызова, но и от количества вызовов, поступающих потом в течение времени ожидания, что приводит к громоздким аналитическим

4.7 приведены для сравнения кривые распределения времени ожидания ввыызроавжове нпиряимуп[1о3р]я.доНчае нрниосй. и неупорядоченной очередях.

Среднее время ожидания обслуживания не зависит от дисциплины очереди и в условных единицах времени определяется из выражений:

x=0

i-V


(4.24)

Расчет вероятности условных потерь и среднего времени ожидания при постоянной длительности обслуживания. Рассматриваемая модель отличается от предыдущей временем обслуживания, которое в этом случае предполагается постоянной величиной. Постоянное время обслуживания, в отличие от экспоненциального распределения длительности занятия (3.1), не обладает свойством отсутствия последействия. Поэтому при определении распределения вероятностей P (>t) необходимо учитывать не только количество вызовов, находящихся на обслуживании, но и моменты окончания каждого из них; это приводит к громоздким и неудобным для вычисления аналитическим выражениям, которые поэтому заменяют семейством соответствующих кривых.

При неупорядоченной очереди (случайном выборе на обслуживание) и однолинейной модели ( V= 1) обычно пользуются кривыми Бёрке (рис. 4.8а), а при упорядоченной очереди - кривыми Кроммелина (рис. 4.86). При постоянной длительности обслуживания средняя длительность ожидания обслуживания по отношению к задержанным вызовам меньше времени ожидания при случайной длительности обслуживания и определяется по формуле

Гз

1

2(V -A)

(4.25)

Пример 4.1.

При обслуживании с явными потерями с вероятностью потерь по вызовам pB<10% определить количество линий (приборов) однозвенного ПДВ, если поток телефонных вызовов от N=100 абонентских линий имеет в ЧНН интенсивность 180 выз/ч, среднее время обслуживания одного занятия составляет А=100 с. Вычислить нагрузку, обслуженную этим ПДВ.

Решение. Поскольку телефонные вызовы поступают случайно и число создающих их источников N=100, можно предположить, что характеристики потока вызовов близки к характеристикам простейшего потока вызовов Поэтому при решении задачи можно использовать модель простейшего потока с параметром A=u=180 выз/ч. Принимая среднее время одного занятия h=100 с за условную единицу времени, имеем A=(180/3600)x 100=5 выз/усл.ед. вр.

Обслуживанию простейшего потока ПДВ в режиме с явными потерями соответствует модель, рассчитываемая по первой формуле Эрланга. Учитывая, что вероятность потерь по вызовам рв=ррн=р, и подставляя значения р=0,010 и A=5 выз/усл. ед. вр. в (4.3), получим

0,010 >

5L

V!

52 53 1 + 5 + -+ - 2! 3!

5 L

V!

или в символической записи 0,010>Ev(5).

Для решения уравнения используем табл. 4.1. Поскольку при V = 10 потери составляютр=Е10(5)=0,018385, а при они равны р"=Е11(5)=0,008287, то в соответствии с условием потребуется V=11 приборов. Воспользовавшись (4.11) и учитывая, что Y=A=5, определим обслуженную нагрузку

Y0 = Y(1 - Pv ) = Y[1 - Ev (Y)] = 5[1 - Eu (5)] = 4,96 Эрл.

Пример 4.2. Определить емкость полнодоступного пучка линий при обслуживании с явными потерями с вероятностью потерь по вызовам рВ<0,010,. если обслуженная им телефонная нагрузка, создаваемая N=50 источниками, составляет Yo=2,36 Эрл.

Решение. Поскольку число источников телефонной нагрузки N<100. а вызовы поступают случайно, то в качестве модели потока вызовов можно принять поток вызовов ВОЧИ. Определим интенсивность одного источника в единицу свободного времени. Для этого воспользуемся формулой (4.17), предварительно решив ее относительно а и подставляя значения Y0, N и рВ:



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53]