Так как параметр поступающего потока вызовов Xi = а(N - i), то в (4.3) можно подставить значения

X0 = cN, X = с(N -1) и т.д.

Тогда

P = -~,(4.4)

x=0

где CN - число сочетаний из N по i. Выражение (4.4), известное в литературе как формула Энгеста, позволяет определить вероятность занятости ровно i(0 < i < V) линий ПДВ при обслуживании с явными потерями потока вызовов от N источников телефонной нагрузки (V < N < да) - потока ВОЧИ.

Расчет вероятности явных потерь при обслуживании простейшего потока вызовов. Переходя к пределу при N - да в (4.3) и учитывая предельное свойство потока ВОЧИ lim Xi = X , имеем

N-да

• • • X-1 X

i Ii I

P = lim ----= --.(4.5)

x=0Л-x=0 XI

Это выражение представляет собой распределение Эрланга. Перейдем к определению характеристик качества обслуживания простейшего потока вызовов.

Вероятность потерь по времени определяется выражением, которое получают непосредственно из (4.5) подстановкой i=V:

XL

Pt = Pv =nL (4.6)

XI

x=0

Эта формула называется первой формулой Эрланга.

Вероятность потерь по вызовам согласно определениюрв (см. § 3.6) для стационарного потока получаем из выражения

Рв = Ц = XX = XL = P,(4.7)

ц X X

где ц и цп - интенсивность поступающего и потерянного потоков вызовов.

Вероятность потерь по нагрузке можно определить из соотношения между поступающей и обслуженной нагрузками, а для стационарного потока - из соотношения их интенсивностей Y и Y0. Интенсивность поступающей нагрузки найдем по (3.16) при значении h, принятом за единицу времени:

дада Л1да 1 i-1

Y = ViP* = ViLe X = Xe X Y--= Xe~XeX = X,(4.8)

где Pi* - вероятность занятия i линий ПДВ в модели без потерь сообщения. Из этого уравнения, в

частности, следует, что число вызовов простейшего потока, поступающих за среднее время одного занятия (усл. ед. вр.), численно равно интенсивности поступающей нагрузки, выраженной в эрлан-гах, т. е. для простейшего потока справедливо численное тождество

X = Y.(4.9)

Аналогично определим интенсивность обслуженной нагрузки

Y0 =I iP, =I i

ЯЯ

i!

Я

At

AV1

AV

V!

x!

IV A

= A (1 - PV ).

(4.10)

i=1i=1

x=0 x!x=0

Теперь определим потери сообщения по нагрузке:

К = Y-YL =A-A(1 - Pv ) = Y

Рн

Y

A

x!

Pv

(4.11)

Из сравнения трех характеристик потерь сообщения (4.6), (4.7) и (4.11) следует, что: pt = рв=рн = =PV= Р, т. е. вероятности потерь вычисляются по первой формуле Эрланга (4.6), обычно представляемой в символической форме

р = Ev(A) или р = Ev(Y).

(4.12)

Первая формула Эрланга (4.6) табулирована для ПДВ емкостью от 0,01 до 200 Эрл [6]. Вероятности p=EV(Y) для Vот 1 до 20 линий (приборов) приведены в табл. 4.1.

Расчет вероятности явных потерь при обслуживании телефонного потока ВОЧИ. Для оценки качества обслуживания, потока ВОЧИ полнодоступным пучком линий необходимо определить вероятности потерь по времени, вызовам и нагрузке.

Вероятность потерь по времени при i = V определяется из уравнения Энгсета (4.4)

= Pv =

(4.13)

IaxC

x=0

-1)! V!

Вероятность потерь по вызовам с учетом свойства одинарности потока ВОЧИ рВ определяется

V

как отношение математических ожиданий соответствующих потоков: ХП = XVPV и X = YXP .

i=0

Опуская промежуточные преобразования, получим

aVCV

P = XVPV =

YaxC

x=0

i=0i=0YaxCN

p

ВV

aVCx

(4.14)

YaxC

x

N-1

x=0

Вероятность потерь по нагрузке рассчитывается после определения распределения Pi*, соответствующего модели обслуживания без потерь потока ВОЧИ. Как очевидно, потерь не будет при V* = N. Учитывая это условие, после несложных преобразований приведем (4.4) к виду

P = CV

a

1 + a

1

a

1 + a

(4.15)

Опуская промежуточные преобразования, определим интенсивность поступающей нагрузки за условную единицу времени

Y

r

Y iP* =Y iCN I

i=1i=1 V

a

N-i

a . 1 + aJ

1 + a JV 1 + aJ Аналогично найдем интенсивность обслуженной нагрузки

Y = N

a

1 + a

Y0 =Y =Y i

a

ii C

i=1

i=1

YaxC

и y0 =

a(1 - рв )

1 +a(1 - рв )

(4.16)

(4.17)

x=0

С учетом уравнений (4.14) и (4.15) определим вероятность потерь по нагрузке

a(1 - р В )

aVCN

YY

н Y Y

N

1 +a(1 - р в )

a

и р

н V

N-1

(4.18)

1 + a

YaxC

x=0

Сопоставляя значения вероятностей потерь (4.13), (4.14) и (4.18), получим:

N - VN - YN - V

(4.19)

Nin N N - Y

Отсюда следует, что при обслуживании потока телефонных вызовов от ограниченного числа источников вероятности потерь сообщения не равны между собой и тем больше отличаются друг от друга, чем меньше количество источников вызовов N, причем pн<pВ<p

Вероятности потерь по вызовамрВ=/Щ, V, a) при фиксированном числе источников N=10, 20, 30 и 50 и значениях параметра a = 0,05; 0,010; 0,15 и 0,20 Эрл приведены в табл. 4.2. Табулированные в широких пределах вероятности потерь рВ приведены в [19].

Расчет вероятности условных потерь и среднего времени ожидания при случайной длительности обслуживания. Предположим, что полнодоступный пучок емкостью V линий обслуживает простейший поток вызовов (рис. 4.6). Время обслуживания одного вызова - случайная показательно - распределительная величина (3.1) со средним значением h, принятым за единицу времени. Поэтому для

x=0

N-i

V =N