Ремонт принтеров, сканнеров, факсов и остальной офисной техники


назад Оглавление вперед




[11]

(3.1), можно определить, какова будет вероятность того, что длительность случайного времени обслуживания не превзойдет, например, 10 мин, если среднее время занятия в наблюдаемом промежутке времени h = 5 мин. Искомая вероятность равна

10

P(C < t = 10 мин) = 1 - e~ = 0,8647.

Характеристики потоков вызовов. Последовательность телефонных вызовов при непрерывном отсчете времени их поступления называется потоком телефонных вызовов. Различают детерминированный и случайный потоки вызовов. Детерминированным потоком называется поток телефонных вызовов с фиксированными моментами их поступления. Например, поступление телефонных вызовов строго по расписанию. Такой поток сравнительно редко встречается на практике. Если моменты поступления телефонных вызовов зависят от случайных факторов, то такой поток называют случайным потоком телефонных вызовов. Основными характеристиками случайного потока являются его параметр и интенсивность.

Параметр случайного потока вызовов Х( t) в момент времени t есть предел отношения вероятности Pi>1 ((, t + At) поступления не менее одного вызова (/ > 1) в промежутке времени [t, t + At) к величине этого промежутка времени, когда последний стремится к нулю

X(f)= lim P>1(tt + At).(3.2)

W At -ЮAt

Интенсивность случайного потока вызовов ц( t) в момент времени t есть предел отношения приращения математического ожидания числа вызовов в промежутке времени [t, t + At) к величине этого промежутка, когда последний стремится к нулю

ц(() = lim ц(0,t)-ц(0,t + At),(3.3)

W At0At

где ц(0, t) и ц(0, t + At) -математические ожидания за промежутки времени [0, t) и [0, t + At) соответственно. Интенсивность )x(t) характеризует случайный поток вызовов в момент времени t числом поступающих вызовов, а его параметр A,(t) характеризует этот же поток за ту же единицу времени числом вызывающих моментов, т. е. моментов времени поступления одного или одновременно группы вызовов. Поэтому для любого случайного потока вызовов всегда имеет место соотношение

Пример . Пусть случайный поток вызовов в моменты времени t1 и t1+At имеет интенсивность ц( 11) =300 выз/ч и u(t1 + At)=280 выз/ч и соответственно в те же моменты времени-параметры X(t1 )=300 выз. моментов/ч и X(t1 + At) =250 выз. моментов/ч. В этом примере ц() = X(t1) и + At)>(t1 + At), ибо в момент времени t1 поток имел одну характеристику, когда за единицу времени в каждый вызывающий момент мог поступать только один вызов, а в момент времени (t,+ A t) - другую характеристику, когда за аналогичную единицу времени в каждый вызывающий момент может поступить не одни, а группа вызовов, т. е. число вызовов больше числа вызывающих моментов.

Основные свойства случайных потоков вызовов. Рассмотрим случайные потоки вызовов, обладающие некоторыми особо простыми свойствами: одинарности, стационарности и отсутствия последействия.

Одинарным потоком телефонных вызовов называется поток вызовов, в котором вероятность появления более чем одного телефонного вызова (z>2) за малый промежуток времени At пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью появления одного телефонного вызова, т. е.

P>2 (At ) = o(At)(3.4)

где o(At) - бесконечно малая более высокого порядка, чем малый промежуток времени At, определяемая выражением

lim = 0.

At0 At

Одинарность случайного потока вызовов означает практическую невозможность группового поступления вызовов в любом из вызывающих моментов времени. Поэтому для одинарных потоков справедливо тождество /j(t) = X(t) для любого момента времени t.

Поток телефонных вызовов называется стационарным, если вероятность поступления ровно k вызовов Pk(tj; tj + t) за любой промежуток времени (tj; tj + t) определяется лишь длительностью этого промежутка t и не зависит от момента его начала tj, т. е.


Pk (tj, tj +1)=Pk (t,, tl +1)=Pk (t),

где }Ф1. Другими словами, стационарность потока предполагает неизменность вероятностного режима поступления вызовов во времени и, следовательно, при определении параметра или интенсивности потока отпадает необходимость указывать момент начала их наблюдения ti. Поэтому для стационарных потоков справедливо неравенство А,<ц,

Поток телефонных вызовов называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся промежутков времени число вызовов, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько вызовов попало на другой (или другие, если рассматривается более двух промежутков времени). Таким образом, отсутствие последействия потока вызовов означает независимость вероятности поступления вызова в момент t от предыдущих событий до этого момента времени.

Простейший поток телефонных вызовов и его свойства. Случайный поток телефонных вызовов, обладающий одновременно свойствами стационарности, одинарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком телефонных вызовов или просто простейшим потоком.

Для полного определения случайного потока вызовов достаточно знать, какова будет вероятность того, что за промежуток времени [0; t1 ) поступит k1 вызовов, за промежуток времени [0; t2) поступит k2 вызовов и т. д., т. е. если будут известны для любой группы k 1, k2, kn вызовов и положительных моментов времени t1, t2,..., tn вероятности их поступления Р1 (0; t1); Р2 (0; 12); Рп (0; tn) или для любого произвольного промежутка времени [t0, t0 + t) будет известна вероятность поступления ровно k вызовов - функция распределения Pk(t0; t0 + t), где t0>0 и 0<k<co.

Определим функцию распределения для простейшего потока. Учитывая свойство его стационарности, очевидно, достаточно определить распределение вида Pk(t). С этой целью рассмотрим поступление ровно k вызовов за два соседних промежутка времени t + At. Это возможно несколькими способами. Например, если за промежуток времени t поступит k вызовов, а за промежуток At - 0 вызовов, или если за промежуток t поступит (k-1) вызовов, а за оставшееся время At - один вызов, или если за время t - (k-2) вызовов, а за отрезок At - два вызова и т. д. вплоть до 0 вызовов за первый промежуток времени t и k вызовов за оставшееся время, т. е. поступление вызовов может произойти k+ 1 несовместимыми способами. Вероятность поступления вызовов за промежуток времени At из-за отсутствия последействия у потока не зависит от вероятности их поступления за предшествующий промежуток времени t. Поэтому, воспользовавшись формулой полной вероятности, имеем

Pk (t + at) = Pk (t)P0 (At) + Pk-1 (t)P (at) + Pk-2 (t)P2 (At) +... + P0 (t)Pk (at).

В этом уравнении все вероятности Pi(At) поступления i вызовов за малый промежуток времени At в силу свойств одинарности простейшего потока вызовов, начиная с i = 2, 3, есть бесконечно малые более высокого порядка, чем At, и равны Pii2(At) = о (At) [см. формулу (3.4)]. Поэтому вышеприведенное уравнение можно упростить и привести к виду

Pk (t + At) = Pk (t) P0(At) + Pk-1( t) Р1( A t) + o(At).(3.5)

Из формулы (3.2), а также из стационарности и одинарности рассматриваемого потока следует

P>1(t; t + At) = X(t)At + о (A t); A t) = XAt + о).(3.6}

В промежутке времени At для одинарного потока справедливы тождества:

P0(At) + P1(At) + P>2(At) = 1 или P0(At) + P1(At) + o(At) = 1.

Подставляя значения из (3.6), имеем

P0(At) = 1 -P1(At) + о (At) = 1 - XAt + o(At).

Представим (3.5) в следующем виде:

Pk(t + At) = (1 - XAt)Pk(t) + XAtPk-1(t) + o(At);

Pk (t + At) - Pk (t) = -XPk (t) + XPk1(t) + £(At).

Atkk-1 at

После предельного перехода, устремив At -> 0 с учетом (3.4), получим систему из (k+1) дифференциальных уравнений

P = -xPk(t) + XPk-1(t) для k = 0,1,2, ••


В результате ее решения получим функцию распределения числа вызовов k за время t

(At)

k

Pk(t) = ТГee .(3.7)

Простейший поток полностью определяется системой функции распределения (3.7). Следовательно, для полной характеристики простейшего потока достаточно знать только одну величину - параметр или его интенсивность. Полученное выражение (3.7) называется уравнением Пуассона. Кроме распределения Пуассона для задания простейшего потока можно пользоваться еще двумя эквивалентными способами - простыми распределениями, которые приводятся здесь без вывода.

Так, простейший поток можно задать системой функций распределения вероятностей поступления вызовов:

P(Ck < tk) = 1 -e-Atk,(3.8)

где Zk и tk - соответственно случайный и фиксированный моменты времени поступления k - г o вызова. Простейший поток можно также полностью определить системой функций распределения промежутков между моментами поступления вызовов:

P(Zk < tk) = 1 - e-Atk,(3.9)

где Zk и tk - случайная и фиксированная величины промежутка времени, предшествующего k-му вызову.

Важное свойство, присущее простейшему потоку, состоит в том, что при объединении п простейших потоков соответственно с параметрами A1; A2, An получаем вновь простейший поток, параметр которого равен сумме параметров объединяемых потоков

x=1

Численные характеристики простейшего потока - математическое ожидание Mi и дисперсия Di числа вызовов i за промежуток времени t - равны друг другу и определяются выражениями:

=Z гРг (t) = Z i(AA- e ~At = At;(3.10)

i=1г=1 г

D, =Z[i2 P (t) - (Mi )2 ]=At.(3.11)

i=1

Этим свойством часто пользуются на практике при решении вопроса о справедливости гипотезы о том, что случайный поток имеет распределение, подобное простейшему потоку.

Поток телефонных вызовов от ограниченного числа источников. Исследование модели такого потока позволяет вскрыть и учесть при расчетах реакцию коммутационной системы обслуживания на процесс возникновения вызовов. Потоком телефонных вызовов от ограниченного числа источников (потоком ВОЧИ) будем называть случайный одинарный поток, параметр которого Аг, зависящий от состояния коммутационной системы обслуживания, в любой момент времени пропорционален числу свободных источников телефонной нагрузки (N-г) и определяется выражением

A =а(N - г),(3.12)

где а - параметр либо интенсивность источника в момент, когда он свободен (во время занятости источники вызовов не создают); N - общее число источников, создающих поток; i - число занятых источников. Из определения потока и выражения (3.12) следует, что поток ВОЧИ не удовлетворяет свойству стационарности, так как Аг Ф const, и является потоком с последействием, поскольку новые вызовы могут поступить только от свободных источников и, следовательно, вероятность возникновения нового вызова в момент t зависит от количества поступивших вызовов до этого момента.

Покажем, что при увеличении числа источников и соответствующем уменьшении а последействие потока уменьшается. Учитывая, что число занятых источников i не может быть больше конечного числа обслуживающих устройств V (0 < i < V), в предельном случае при N -» да и а-»0, но так, что Na = const, поток ВОЧИ переходит в простейший с параметром A = aN. Практически уже при N>100 можно пользоваться более простой моделью простейшего потока. Вносимая в этом случае



[стр.Начало] [стр.1] [стр.2] [стр.3] [стр.4] [стр.5] [стр.6] [стр.7] [стр.8] [стр.9] [стр.10] [стр.11] [стр.12] [стр.13] [стр.14] [стр.15] [стр.16] [стр.17] [стр.18] [стр.19] [стр.20] [стр.21] [стр.22] [стр.23] [стр.24] [стр.25] [стр.26] [стр.27] [стр.28] [стр.29] [стр.30] [стр.31] [стр.32] [стр.33] [стр.34] [стр.35] [стр.36] [стр.37] [стр.38] [стр.39] [стр.40] [стр.41] [стр.42] [стр.43] [стр.44] [стр.45] [стр.46] [стр.47] [стр.48] [стр.49] [стр.50] [стр.51] [стр.52] [стр.53]